In 1844, Catalan [2] posed a conjec

In 1844, Catalan [2] posed a conjecture that (a, b, x, y) = (3, 2, 2, 3) is a unique
solution of the Diophantine equation ax−by = 1 where a, b, x and y are integers
with min{a, b, x, y} > 1. Then Mihailescu [3] proved the Catalan’s conjecture
in 2004. After that Acu [1] proved that (3, 0, 3) and (2, 1, 3) are only two
solutions (x, y, z) for the Diophantine equation 2x + 5y = z2 where x, y and z
are non-negative integers.
In 2011, Suvarnamani, Singta and Chotchaisthit [9] proved that two Dio-
phantine equations 4x + 7y = z2 and 4x + 11y = z2 have no non-negative
integer solution. Then Suvarnamani [5] proved that two Diophantine equations
4x + 13y = z2 and 4x + 17y = z2 have no non-negative integer solution. After
that Suvarnamani [6] proved that the Diophantine equation 2x + py = z2 has
some non-negative integer solutions where p is a prime number.
In 2012, Suvarnamani [7] found that Diophantine equation Ax + By = Cz
has some non-negative integer solutions. Then Suvarnamani [8] found that the
Diophantine equation px + py = z2 has some non-negative integer solutions
where p is a prime number. After that Sroysang [4] proved that (0, 1, 3) is a
unique non-negative integer solution of the Diophantine equation 7x +8y = z2.
In 2014, Suvarnamani [10] found the solution of the Diophantine equation
px + qy = z2 where p is an odd prime number which q − p = 2 and x, y and z
are non-negative integers. After that he studied in [11] about the Diophantine
equation px + (p + 1)y = z2 where p is an odd prime number and x, y and z
are non-negative integers.
In this paper, we will use the Catalan’s conjecture to solving (p+1)2x+qy =
z2 where p is a Mersenne prime number which q − p = 2 and x, y and z are
non-negative integers.
Lemma 2.2. If q is an odd prime number and y, z are non-negative
integers.Then the Diophantine equation 1 + qy = z2 has no solution.
Proof. Let q is an odd prime number and y, z be non-negative integers such
that 1 + qy = z2. We consider in 3 cases.
Case 1: y = 0. Then z2 = 2 which is impossible.
Case 2: y = 1. Thus z2 = q + 1. That is z = 0 or 2. It is impossible.
Case 3: y > 1. Thus z2 = qy + 1 > q + 1. Then z > 2. By Lemma 2.1, we
have z = 3, q = 2 and y = 3. Contradiction.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ใน 1844, คาตาลัน [2] เกิดการคาดเดาว่า (b, x, y) = (3, 2, 2, 3)
เป็นที่ไม่ซ้ำกันแก้ปัญหาของสมการDiophantine ขวานโดย = 1 ที่ b, x และ y
ที่เป็นจำนวนเต็มกับนาที{b, x, y}> 1 แล้ว Mihailescu [3]
ได้รับการพิสูจน์การคาดคะเนของคาตาลันในปี2004 หลังจากนั้น Acu [1] พิสูจน์ให้เห็นว่า (3, 0, 3) และ (2, 1, 3)
มีเพียงสองโซลูชั่น(x, y, z) สำหรับสม Diophantine 2x + 5Y = z2 ที่ x, y z
และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ.
ในปี 2011 Suvarnamani, Singta และ Chotchaisthit [9] พิสูจน์ให้เห็นว่าทั้งสอง Dio-
สม phantine 4x + 7Y = z2 และ 4x + 11y = z2
ไม่มีที่ไม่ใช่เชิงลบแก้ปัญหาจำนวนเต็ม จากนั้น Suvarnamani [5] พิสูจน์ให้เห็นว่าทั้งสองสม Diophantine
4x + 13y = z2 และ 4x + 17y = z2 มีจำนวนเต็มไม่มีการแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงลบ หลังจากที่ Suvarnamani [6] พิสูจน์ให้เห็นว่าสม Diophantine 2x + PY = z2 มีโซลูชันจำนวนเต็มไม่ใช่เชิงลบที่พีเป็นจำนวนเฉพาะ. ในปี 2012 Suvarnamani [7] พบว่าสม Diophantine Ax + โดย = Cz มีบางส่วนที่ไม่ การแก้ปัญหาเชิงลบจำนวนเต็ม จากนั้น Suvarnamani [8] พบว่าสมDiophantine px + PY = z2 มีโซลูชั่นจำนวนเต็มไม่ใช่เชิงลบที่พีเป็นจำนวนเฉพาะ หลังจากนั้น Sroysang [4] พิสูจน์ให้เห็นว่า (0, 1, 3) เป็นวิธีการแก้ปัญหาไม่ใช่จำนวนเต็มลบที่ไม่ซ้ำกันของสมDiophantine 7x + 8y = z2. ในปี 2014, Suvarnamani [10] พบว่าวิธีการแก้ปัญหาของสม Diophantine px + QY = z2 ที่พีเป็นจำนวนเฉพาะคี่ซึ่งคิว - p = 2 x, y z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ หลังจากนั้นเขาได้ศึกษาใน [11] เกี่ยวกับ Diophantine สม px + (P + 1) Y = z2 ที่พีเป็นจำนวนเฉพาะคี่และ x, y z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ. ในบทความนี้เราจะใช้คาตาลัน การคาดคะเนในการแก้ปัญหา (P + 1) + 2x QY = z2 ที่พีเป็นจำนวนเฉพาะที่เซนเนคิว - p = 2 x, y z และมี. integers เชิงลบแทรก2.2 ถ้าคิวเป็นจำนวนเฉพาะคี่และ y, z เป็นที่ไม่ใช่เชิงลบintegers.Then สม Diophantine 1 + QY = z2 มีไม่มีวิธีแก้. หลักฐาน ให้คิวเป็นจำนวนเฉพาะคี่และ y, z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบเช่นว่า1 + QY = z2 เราพิจารณาในกรณีที่ 3. กรณีที่ 1: Y = 0 แล้ว z2 = 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้. กรณีที่ 2: Y = 1 ดังนั้น z2 = คิว + 1 นั่นคือ Z = 0 หรือ 2 มันเป็นไปไม่ได้. กรณีที่ 3: Y> 1. ดังนั้น z2 = QY + 1> คิว + 1 แล้วซี> 2 โดยบทแทรก 2.1 เรามีซี= 3 คิว = 2 และ y = 3. ความขัดแย้ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ใน 1844 , คาตาลัน [ 2 ] เคยคาดเดาว่า ( A , B , X , Y ) = ( 3 , 2 , 2 , 3 ) เป็นโซลูชั่นของสมการไดโอแฟนไทน์
ขวาน−โดย = 1 ที่ A , B , x และ y เป็นจำนวนเต็ม
มิน { A , B , X , y } 1 แล้ว mihailescu [ 3 ] พิสูจน์ คาตาลัน คือการคาดเดา
ในปี 2004 หลังจากนั้น ACU [ 1 ] พิสูจน์ว่า ( 3 , 0 , 1 ) , ( 2 , 1 , 3 ) มีเพียงสอง
โซลูชั่น ( x , y , z ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ = 2x 5y กขึ้นที่ XY และ Z
เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ .
ใน 2011 , suvarnamani singta chotchaisthit [ 9 ] , และพิสูจน์แล้วว่า สอง ดิโอ -
phantine สมการ 4x 7y = กขึ้นและ 4 11y = กขึ้นไม่มีไม่ใช่จำนวนเต็มลบ
โซลูชั่น แล้ว suvarnamani [ 5 ] พิสูจน์ว่าสองสมการไดโอแฟนไทน์
4 x 13y = กขึ้นและ 4 17y = กขึ้นไม่มีไม่ลบจำนวนเต็ม โซลูชั่น หลังจาก
ที่ suvarnamani [ 6 ] พิสูจน์ได้ว่าสมการไดโอแฟนไทน์ PY = 2x
บางอย่างที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบกขึ้นมีโซลูชั่นที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ
2012 suvarnamani [ 7 ] พบว่าสมการไดโอแฟนไทน์ โดยฝังขวาน =
มีบางอย่างที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ โซลูชั่น แล้ว suvarnamani [ 8 ] พบว่าสมการไดโอแฟนไทน์
PX PY = กขึ้นมีโซลูชั่นที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ
p เป็นจำนวนเฉพาะหลังจากนั้น สุขขัง [ 4 ] พิสูจน์ที่ ( 0 , 1 , 3 ) เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ
เฉพาะโซลูชั่นของสมการไดโอแฟนไทน์ 7x 8y = กขึ้น .
ในปี 2014 suvarnamani [ 10 ] พบคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์
% qy = กขึ้นที่ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่ Q P = − 2 และ x , y และ z
เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ หลังจากนั้นเขาได้ศึกษาในเรื่องไดโอแฟนไทน์
[ 11 ]สมการ px ( P ) Y = กขึ้นที่ P เป็นจำนวนเฉพาะคี่และ x , y และ z

เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ ในกระดาษนี้เราก็จะใช้ คาตาลัน คือการคาดเดาการแก้ไข ( พี 1 ) qy = 2x
กขึ้นที่ p เป็นจำนวนเฉพาะแมร์แซนเลขที่ Q P = − 2 และ X , Y และ Z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ
.
แทรก 2.2 . ถ้า q เป็นจำนวนเฉพาะคี่และ Y , Z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ

แล้วสมการไดโอแฟนไทน์ 1 qy = กขึ้นไม่มีสารละลาย
พิสูจน์ ให้ q เป็นจำนวนเฉพาะคี่และ Y , Z ได้ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ เช่น
ที่ 1 qy = กขึ้น . เราต้องพิจารณาใน 3 กรณี กรณีที่ 1 .
: y = 0 จากนั้นกขึ้น = 2 ซึ่งมันเป็นไปไม่ได้ กรณี 2
: y = 1 ดังนั้นกขึ้น = Q 1 ที่ z = 0 หรือ 2 มันเป็นไปไม่ได้ กรณี 3
: y > 1 ดังนั้น qy กขึ้น = 1 > Q 1 แล้ว Z > 2 โดยแทรก 2.1 เรา
มี Z = 3 , Q = 2 และ y = 3
ความขัดแย้ง