Archimedes' Book of LemmasPropositi

Archimedes' Book of Lemmas
Proposition 1: If two circles touch at A, and if CD, EF be parallel diameters in them, ADF is a straight line.

Proposition 2: Let AB be the diameter of a semicircle, and let the tangents to it at B and at any other point D on it meet in T. If now DE be drawn perpendicular to AB, and if AT, DE meet in F, then DF = FE..

Proposition 3: Let P be any point on a segment of a circle whose base is AB, and let PN be perpendicular to AB. Take D on AB so that AN = ND. If now PQ be an arc equal to the arc PA, and BQ be joined, then BQ, BD shall be equal.

Proposition 4: If AB be the diameter of a semicircle and N any point on AB, and if semicircles be described within the first semicircle and having AN, BN as diameters respectively, the figure included between the circumferences of the three semicircles is "what Archimedes called arbelos"; and its area is equal to the circle on PN as diameter, where PN is perpendicular to AB and meets the original semicircle in P.

Proposition 5: Let AB be the diameter of a semicircle, C any point on AB, and CD perpendicular to it, and let semicircles be described within the first semicircle and having AC, CB as diameters. Then if two circles be drawn touching CD on different sides and each touching two of the semicircles, the circles so drawn will be equal.

Proposition 6: Let AB, the diameter of a semicircle, be divided at C so that AC = 3/2·CB [or in any ratio]. Describe semicircles within the first semicircle and on AC, CB as diameters, and suppose a circle drawn touching the all three semicircles. If GH be the diameter of this circle, to find relation between GH and AB.

Proposition 7: If circles are circumscribed about and inscribed in a square, the circumscribed circle is double of the inscribed square.

Proposition 8: If AB be any chord of a circle whose centre is O, and if AB be produced to C so that BC is equal to the radius; if further CO meets the circle in D and be produced to meet the circle the second time in E, the arc AE will be equal to three times the arc BD.

Proposition 9: If in a circle two chords AB, CD which do not pass through the centre intersect at right angles, then (arc AD) + (arc CB) = (arc AC) + (arc DB).

Proposition 10: Suppose that TA, TB are two tangents to a circle, while TC cuts it. Let BD be the chord through B parallel to TC, and let AD meet TC in E. Then, if EH be drawn perpendicular to BD, it will bisect it in H.

Proposition 11: If two chords AB, CD in a circle intersect at right angles in a point O, not being the centre, then AO2 + BO2 + CO2 + DO2 = (diameter)2.

Proposition 12: If AB be the diameter of a semicircle, and TP, TQ the tangents to it from any point T, and if AQ, BP be joined meeting in R, then TR is perpendicular to AB.

Proposition 13: If a diameter AB of a circle meet any chord CD, not a diameter, in E, and if AM, BN be drawn perpendicular to CD, then CN = DM.

Proposition 14: Let ACB be a semicircle on AB as diameter, and let AD, BE be equal lengths measured along AB from A, B respectively. On AD, BE as diameters describe semicircles on the side towards C, and on DE as diameter a semicircle on the opposite side. Let the perpendicular to AB through O, the centre of the first semicircle, meet the opposite semicircles in C, F respectively. Then shall the area of the figure bounded by the circumferences of all the semicircles be equal to the area of the circle on CF as diameter.

Proposition 15: Let AB be the diameter of a circle., AC a side of an inscribed regular pentagon, D the middle point of the arc AC. Join CD and produce it to meet BA produced in E; join AC, DB meeting in F, and Draw FM perpendicular to AB. Then EM = (radius of circle).

Reference
Great Books of The Western World, v. 11, Encyclopaedia Britannica, 1952

|Activities| |Contact| |Front page| |Contents| |Geometry| |Store|

Copyright © 1996-2016 Alexander Bogomolny
50442206


CITE THIS PAGE AS:
A. Bogomolny, The Book of Lemmas: Proposition 11 from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/BOL11.shtml, Accessed 28 January 2016





I Recommend

Coffee, Love and Matrix Algebra
Gary Ernest Da…
$13.80
Amazon.comPrivacy
Search by google:

Search



Cut the knot: learn to enjoy mathematics



CutTheKnotMathSite Newsfeed

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำนามภาษาหนังสือของอาร์คิมิดีเรื่องที่ 1: ถ้าสัมผัสวงกลมสองที่ A และ CD, EF จะขนานเส้นผ่าศูนย์กลางได้ ADF เป็นเส้นตรงเรื่องที่ 2: ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลม และให้ tangents ไป ที่ B และ D จุดอื่น ๆ บนพบในต. ถ้า DE จะออกตั้งฉากกับ AB ว่าที่ ตาม DE ใน F แล้ว DF = FE ...เรื่องที่ 3: ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนเซ็กเมนต์ของวงกลมที่มีฐานเป็น AB และให้การขอหมายเลขสินค้า ใช้ D บน AB ดังนั้น = ND ถ้า PQ จะเท่ากับส่วนโค้งโค้ง PA และ BQ รวมกัน แล้ว BQ, BD จะเท่ากันเรื่องที่ 4: ผู้ถ้า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลมและ N ใด ๆ จุดบน AB และถ้า semicircles จะ ครึ่งวงกลมแรกและมีพันล้านเป็นเส้นผ่าศูนย์กลางตามลำดับ เลขที่อยู่ระหว่างเส้นรอบวงของ semicircles สาม "อะไรเรียกว่าคิ arbelos "; และพื้นที่เท่ากับวงกลมบน PN เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง ที่พีเอ็นตั้งฉากกับ AB และตรงครึ่งวงกลมเดิมใน P.เรื่องที่ 5: ให้ AB เป็นจุดใด ๆ บน AB และ CD ตั้งฉากกับเส้นผ่าศูนย์กลางของครึ่งวงกลม C และให้ semicircles จะอธิบายในครั้งแรกครึ่งวงกลมและมี AC, CB เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง แล้ว ถ้าวงกลมสองจะวาดทิ้ง CD ด้านและแต่ละสัมผัส semicircles ที่สอง วงกลมวาดจะเท่าเรื่องที่ 6: ให้ AB เส้นผ่าศูนย์กลางของครึ่งวงกลม แบ่งที่ C ดังนั้นที่ AC = 3/2· CB [หรือ ในอัตราใดก็ได้] อธิบาย semicircles ภาย ในครึ่งวงกลมแรก และ AC, CB เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง และสมมติว่า วงกลมวาดสัมผัส semicircles สามทั้งหมด ถ้า GH มีเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมนี้ การหาความสัมพันธ์ระหว่าง GH และขอเรื่องที่ 7: ถ้าอ้างเกี่ยวกับ และจารึกในสี่เหลี่ยมวงกลม วงกลมอ้างได้คู่ของสแควร์ inscribedเรื่องที่ 8: ถ้า AB เป็นคอร์ดของวงกลมที่มีศูนย์เป็น O ใด ๆ และ ถ้า AB ผลิตถึง C ดังนั้นที่ BC จะเท่ากับรัศมี ถ้า CO เพิ่มเติมตรงกับวงกลมใน D และผลิตเพื่อตอบสนองวงครั้งสองใน E อาร์ค AE จะเท่ากับ 3 ครั้งส่วนโค้ง BDเรื่องที่ 9: ถ้าในวงกลม สองคอร์ด AB, CD ซึ่งไม่ผ่านผ่านตัดที่มุมขวา แล้ว (ส่วนโค้ง AD) + (อาร์ค CB) = (ส่วนโค้ง AC) + (อาร์ค DB)เรื่องที่ 10: สมมติว่า TA, TB เป็น tangents สองเป็นวงกลม ในขณะที่ TC ตัดมัน ให้ BD คอร์ดผ่าน B ขนาน TC และให้ AD ตาม TC ใน e แล้ว ถ้า EH ออกตั้งฉากกับ BD มันจะ bisect ใน H.เรื่องที่ 11: ถ้าตัดสองคอร์ด AB, CD ในวงกลมที่มุมขวาใน O จุด ไม่มี ศูนย์ แล้ว AO2 + BO2 + CO2 + DO2 = (เส้นผ่าศูนย์กลาง) 2เรื่องที่ 12: ถ้า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวง กลม และ TP ใช้งานได้ tangents มันจากจุด T และ AQ, BP สามารถเข้าร่วมประชุมใน R, TR เป็นการขอเรื่องที่ 13: ถ้ามีเส้น AB เป็นวงกลมตามที่ คอร์ด CD ไม่มีเส้นผ่าศูนย์กลาง ใน E และ พันล้านเป็นดึงตั้งฉากการ CD, CN = DMเรื่องที่ 14: ให้ ACB ครึ่งวงกลมบน AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และให้ AD จะมีความยาวเท่ากันที่วัดตามแนว AB จาก A, B ตามลำดับ โฆษณา จะเป็นขนาดอธิบาย semicircles ด้านต่อ C และ DE เป็นครึ่งวงกลมเส้นผ่าศูนย์กลางฝั่งตรงข้าม ให้ตั้งฉากกับ AB ผ่าน O ศูนย์กลางของครึ่งวงกลมแรก พบ semicircles ตรงข้ามใน C, F ตามลำดับ แล้ว นั้นจึงจะเท่ากับพื้นที่ของวงกลมใน CF การพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบ ด้วยเส้นรอบวงของ semicircles ทั้งหมดเป็นเส้นผ่าศูนย์กลางเรื่องที่ 15: ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น AC ด้านการ inscribed ห้าเหลี่ยมธรรมดา D จุดตรงกลางของส่วนโค้ง ac คือคำว่า CD เข้าร่วม และผลิตให้ตรงกับ BA ใน E AC เข้าร่วมประชุม DB F และวาด FM การขอ แล้ว EM = (รัศมีของวงกลม)อ้างอิงหนังสือดีของโลกตะวันตก v. 11 สารานุกรม Britannica, 1952| Activities| | Contact| | Page| หน้า | Contents| | Geometry| | Store|ลิขสิทธิ์ © 1996-2016 Alexander Bogomolny 50442206อ้างอิง ตามหน้านี้:A. Bogomolny หนังสือ:ชีวเคมี: ข้อเสนอ 11 Miscellany คณิตศาสตร์แบบโต้ตอบและปริศนาhttp://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/BOL11.shtml เข้าถึง 28 2559 มกราคม ขอแนะนำกาแฟ รัก และพีชคณิตเมทริกซ์Gary เออร์เนสดา...$ 13, 80Amazon.comPrivacyค้นหา โดย google: ค้นหา ตัดปม: เรียนสนุกกับคณิตศาสตร์ สารที่ CutTheKnotMathSite

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Archimedes 'หนังสือของ lemmas
โจทย์ที่ 1: ถ้าสองวงการสัมผัสที่ A และถ้าซีดี, EF จะเส้นผ่าศูนย์กลางขนานในพวกเขา ADF เป็นเส้นตรง. โจทย์ที่ 2: ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลมและปล่อยให้เสียบ้างเพื่อมัน ที่ B และ D ที่จุดอื่น ๆ ที่มันได้พบในตถ้าตอนนี้ DE ถูกดึงตั้งฉากกับ AB และถ้า AT, DE พบใน F แล้ว DF = FE .. โจทย์ 3: ให้ P เป็นจุดใด ๆ ในส่วนของ วงกลมที่มีฐานเป็น AB, PN และให้ตั้งฉากกับ AB ใช้เวลาในการพัฒนา AB เพื่อให้ ND = ถ้าตอนนี้ PQ เป็นโค้งเท่ากับโค้ง PA และ BQ จะเข้าร่วมแล้ว BQ, BD จะเท่ากับ. ข้อเสนอที่ 4: ถ้า AB จะมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมและไม่มีจุด AB ใด ๆ และถ้า semicircles จะอธิบายใน ครึ่งวงกลมครั้งแรกและมีพันล้านเป็นขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางตามลำดับตัวเลขรวมระหว่างเส้นรอบวงของสาม semicircles เป็น "สิ่งที่เรียกว่า Archimedes arbelos"; และพื้นที่ที่มีค่าเท่ากับวงกลมบน PN เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง PN ที่จะตั้งฉากกับ AB และมีคุณสมบัติตรงตามต้นฉบับในครึ่งวงกลมพีโจทย์5: Let AB จะมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมที่จุด C AB ใด ๆ และซีดีตั้งฉากกับมัน และให้ semicircles อธิบายได้ภายในครึ่งวงกลมแรกและมีเอซีซีบีเป็นขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง แล้วถ้าวงกลมสองวงได้รับการวาดซีดีสัมผัสด้านที่แตกต่างกันและแต่ละสัมผัสสอง semicircles วงกลมที่วาดเพื่อจะเท่ากับ. โจทย์ที่ 6: ให้ AB ขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกแบ่งออกที่ C เพื่อให้ AC = 3/2 · CB [หรือในอัตราส่วนใด ๆ ] อธิบาย semicircles ภายในครึ่งวงกลมแรกและเอซีซีบีเป็นขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางและคิดว่าวาดวงกลมสัมผัสทั้งสาม semicircles หาก GH จะเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมนี้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่าง GH และ AB. โจทย์ที่ 7: ถ้าวงการจะ circumscribed เกี่ยวกับการจารึกไว้ในตารางวงกลม circumscribed เป็นสองเท่าของตารางจารึกไว้. ประพจน์ 8: ถ้า AB เป็นคอร์ดใด ๆ วงกลมที่มีศูนย์กลางเป็น O และถ้า AB มีการผลิตไปที่ C เพื่อให้ BC เท่ากับรัศมี; ถ้าต่อไป CO ตรงกับวงกลม D และมีการผลิตเพื่อตอบสนองวงกลมครั้งที่สองในอีอาร์ AE จะเท่ากับสามครั้งโค้ง BD. โจทย์ที่ 9: ถ้าในวงกลมสองคอร์ด AB, ซีดีที่ไม่ได้ผ่านการ ผ่านทางศูนย์ตัดที่มุมขวาแล้ว (โค้ง AD) + (อาร์ซีบี) = (อาร์เอซี) + (โค้ง DB). โจทย์ 10: สมมติว่า TA วัณโรคสอง tangents วงกลมในขณะที่ลด TC มัน ให้ BD จะผ่านคอร์ด B ขนานไปกับ TC และให้โฆษณาพบ TC ในอีแล้วถ้า EH ถูกดึงตั้งฉากกับ BD ก็จะแบ่งครึ่งในเอชโจทย์11: ถ้าสองคอร์ด AB, ซีดีในวงกลมตัดที่ มุมขวาใน O จุดไม่ได้เป็นศูนย์กลางแล้ว AO2 + BO2 + CO2 + DO2 = (เส้นผ่าศูนย์กลาง) 2. โจทย์ 12: ถ้า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลมและ TP, TQ เสียบ้างที่จะได้จากจุด T ใด ๆ และถ้า AQ, BP จะเข้าร่วมการประชุมใน R แล้ว TR จะตั้งฉากกับ AB. โจทย์ 13: ถ้าเส้นผ่าศูนย์กลาง AB ของวงกลมตอบสนองซีดีคอร์ดใด ๆ ที่ไม่เส้นผ่าศูนย์กลางใน E และถ้า AM, BN ถูกดึงตั้งฉากกับ ซีดีแล้ว CN = DM. โจทย์ 14: Let ACB เป็นครึ่งวงกลมบน AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและให้โฆษณา พ.ศ. จะวัดความยาวเท่ากันพร้อม AB จาก A, B ตามลำดับ ในโฆษณา พ.ศ. เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางอธิบาย semicircles ในด้านต่อ C และในขณะที่มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางครึ่งวงกลมบนฝั่งตรงข้าม ให้ตั้งฉากกับ AB O ผ่านศูนย์กลางของวงกลมแรกที่ตอบสนอง semicircles ตรงข้ามใน C, F ตามลำดับ แล้วจะมีพื้นที่ของรูปล้อมรอบด้วยเส้นรอบวงของ semicircles ทั้งหมดจะเท่ากับพื้นที่ของวงกลมบน CF ในขณะที่เส้นผ่าศูนย์กลาง. โจทย์ 15:. ให้ AB จะมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม, AC ด้านของจารึกไว้ปกติห้าเหลี่ยม D จุดตรงกลางของเส้นโค้งกระแสสลับ เข้าร่วมกับซีดีและสร้างมันขึ้นมาเพื่อตอบสนองความ BA ผลิตใน E; เข้าร่วม AC ประชุม DB ในเอฟและวาด FM ตั้งฉากกับ AB แล้ว EM = (รัศมีของวงกลม). อ้างอิงหนังสือดีของโลกตะวันตกโวลต์ 11 สารานุกรม Britannica, 1952. | กิจกรรม | | ติดต่อ | | หน้าแรก | | สารบัญ | | เรขาคณิต | | ร้านค้า | ลิขสิทธิ์© 1996-2016 อเล็กซานเด Bogomolny 50442206 CITE หน้านี้: A. Bogomolny, หนังสือ lemmas: เรื่องที่ 11 จากอินเทอร์คณิตศาสตร์และเบ็ดเตล็ดปริศนาhttp://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/BOL11.shtml, Accessed 28 มกราคม 2016 ผมแนะนำกาแฟ, ความรักและเมทริกซ์ พีชคณิตแกรี่เออร์เนสดา... $ 13.80 Amazon.comPrivacy ค้นหาโดย google: ค้นหาตัดปม: เรียนรู้ที่จะสนุกกับคณิตศาสตร์ CutTheKnotMathSite Newsfeed