Proof. Assume that x2 − 3xy + y2 +

Proof. Assume that x
2 − 3xy + y
2 + x = 0 for some positive integers x and y. Then by Theorem 2.1, x = u
2
and y = uv for
some positive integers u and v. Then it follows that u
4−3u
3v+u
2v
2+u
2 = 0, which implies that u
2−3uv+v
2+1 = 0. That
is, u
2 − 3uv + v
2 = −1. By Theorem 1.6, it follows that (u, v) = (F2n+1, F2n−1) or (u, v) = (F2n−1, F2n+1) with n ≥ 0. This
shows that (x, y) = (F
2
2n+1
, F2n+1F2n−1) or (x, y) = (F
2
2n−1
, F2n−1F2n+1) with n ≥ 0. Conversely, if(x, y) = (F
2
2n+1
, F2n+1F2n−1)
or (x, y) = (F
2
2n−1
, F2n−1F2n+1) with n ≥ 0, then from Theorem 1.6, it follows that x
2 − 3xy + y
2 + x = 0.
R. Keskin / Computers and Mathematics with Applications 60 (2010) 2225–2230 2227
Now we can give the following theorem and corollary. Since their proofs are similar, we omit them.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน สมมติว่า x2 − 3xy + y2 + x = 0 สำหรับบางจำนวนเต็มบวก x และ y โดยทฤษฎีบท 2.1, x = u2และ y = uv สำหรับจำนวนเต็มบวกบาง u และ v แล้วที่ u ดังนั้น4−3u3v + u2v2 + u2 = 0 ซึ่งบ่งชี้ว่า u2−3uv + v2 + 1 = 0 ว่าคือ u− 3uv + v 22 =− 1 โดยทฤษฎีบท 1.6 ดังนั้นที่ (u, v) = (F2n + 1, F2n−1) หรือ (u, v) = (F2n−1, F2n + 1) ด้วย n ≥ 0 นี้แสดงว่า (x, y) = (F22n + 1, F2n + 1F2n−1) หรือ (x, y) = (F22n−1, F2n−1F2n + 1) กับ n ≥ 0 ในทางกลับกัน if(x, y) = (F22n + 1, F2n + 1F2n−1)หรือ (x, y) = (F22n−1, F2n−1F2n + 1) กับ n ≥ 0 แล้วจากทฤษฎีบท 1.6 ดังนั้นที่ x2 − 3xy + y2 + x = 0 R. Keskin / คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์กับการใช้งาน 60 (2010) 2225 – 2230 2227ตอนนี้ เราสามารถให้ corollary และทฤษฎีบทต่อไป เนื่องจากหลักฐานของพวกเขาคล้ายกัน เราไม่ใช้พวกเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ สมมติว่า x
2 - 3xy + Y
2 + x = 0 สำหรับบางจำนวนเต็ม x บวกและ Y แล้วตามด้วยทฤษฎีบท 2.1 x = U
2
และ y = UV สำหรับ
จำนวนเต็มบวกและ U v. จากนั้นก็จะต่อว่า U
4-3u
3V + U
2V
2 + U
2 = 0 ซึ่งหมายความว่า U
2-3uv + V
2 1 = 0 นั่น
คือ U
2 - 3uv + V
2 = -1 โดยทฤษฎีบท 1.6 มันตามที่ (U, V) = (F2n + 1, F2n-1) หรือ (U, V) = (F2n-1 F2n + 1) กับ n ≥ 0 นี่
แสดงให้เห็นว่า (x, y ) = (F
2
2n + 1
, F2n + 1F2n-1) หรือ (x, y) = (F
2
2n-1
, F2n-1F2n + 1) กับ n ≥ 0. ตรงกันข้ามถ้า (x, y) = ( F
2
2n + 1
, F2n + 1F2n-1)
หรือ (x, y) = (F
2
2n-1
, F2n-1F2n + 1) กับ n ≥ 0 แล้วจากทฤษฎีบท 1.6 มันตามที่ x
2 - 3xy + Y
2 + x = 0
อาร์ Keskin / คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ด้วยโปรแกรม 60 (2010) 2225-2230 2,227
ตอนนี้เราสามารถให้ทฤษฎีบทและข้อพิสูจน์ต่อไป ตั้งแต่บทพิสูจน์ของพวกเขามีความคล้ายคลึงเราละเว้นพวกเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ สมมติว่า X3xy − 2 + Y2 + x = 0 บางบวกจำนวนเต็ม x และ y แล้วโดยทฤษฎีบท 2.1 x = U2และ Y = UV สำหรับมีจำนวนเต็มบวก U และ V แล้วมันเป็นไปตามที่ U4 − 3U3V + Uชั่วโมง2 + U2 = 0 ซึ่งหมายความว่า U2 − 3UV + V2 + 1 = 0 ว่าคือ ยู2 − 3UV + V2 = − 1 โดยทฤษฎีบท 1.6 ก็เป็นไปตามที่ ( u , v ) = ( f2n + 1 , − 1 f2n ) หรือ ( u , v ) = ( f2n − 1 , + 1 f2n ) n ≥ 0 นี้พบว่า ( x , y ) = ( f22 + 1f2n − 1 , + 1f2n ) หรือ ( x , y ) = ( f22n − 1f2n 1f2n + 1 , − ) กับ≥ 0 ในทางกลับกัน ถ้า ( x , y ) = ( f22 + 1f2n + 1f2n − 1 ) ,หรือ ( x , y ) = ( f22n − 1f2n 1f2n + 1 , − ) กับ≥ 0 แล้วจากทฤษฎีบท 1.6 มันเป็นไปตามที่เ3xy − 2 + Y2 + x = 0อาร์ keskin / คอมพิวเตอร์และการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์กับ 60 ( 2010 ) 2225 – 2 , 230 1848ตอนนี้เราสามารถให้ทฤษฎีและผลที่ตามมาดังต่อไปนี้ เนื่องจากหลักฐานของพวกเขาที่คล้ายกัน เราละเว้นพวกเขา