International Journal of Algebra, V

International Journal of Algebra, Vol. 5, 2011, no. 8, 369 - 374
On Square Root Closed Domains and Duality
Reza Jahani-Nezhad
Department of Mathematics, Faculty of Science
University of Kashan, Kashan, Iran
[e-mail]
Abstract
In this note, we assume that R is an integral domain with quotient
field K. We introduce the concept of square root closed domain and
then we study when I−1 = { x ∈ K | xI ⊆ R } is a ring, for a nonzero
ideal I of the square root closed domain.
Mathematics Subject Classification: 13B22, 13G05
Keywords: Square root closed domain; Strongly prime ideal; Dual of an
ideal
1 Introduction
Throughout this paper, R will be an integral domain, K will denote its quotient
field and I will be a nonzero ideal of R. The R-submodule J of K is called
fractional ideal if there exists an element a ∈ R such that aJ ⊆ R. For a
nonzero fractional ideal J of R, the fractional ideal (R : J) = { x ∈ K | xJ ⊆
R } is called the dual of J and we show with J−1. In [7], Huckaba and Papick
studied the question of when I−1 is a ring, and this question has received
further attention in [1-6].
We note that while (I : I) is always an overring of R, I−1 need not be a ring
at all. Our purpose in this paper is to determine when I−1 is a ring, where I
is a nonzero ideal of the square root closed domain. But we must begin with
the following definition:
Definition 1. An integral domain R is called square root closed domain,
whenever for every x ∈ K, if x2 ∈ R then x ∈ R.370 R. Jahani-Nezhad
If R is an integrally closed domain, then R is a square root closed domain,
but Z[i
√3] is a square root closed domain which is not integrally closed.
Proposition 2. Let R be a square root closed domain and S be a multiplicatively
closed subset of R. Then S−1R is a square root closed domain.
Proof. Let x ∈ K and x2 ∈ S−1R. There exist a ∈ R and s ∈ S such that
x2 = a
s
. Thus sx2 = a ∈ R and so (sx)2 = sa ∈ R. Since R is a square root
closed domain, then sx ∈ R. Therefore x = sx
s
∈ S−1
R. ✷
Theorem 3. Let R be a square root closed domain and I be an ideal of R.
Then
(
√
I :
√
I) = { x ∈ K | xn ∈ (R : I) for all n ≥ 1 }.
Proof. Suppose that x ∈ (
√
I :
√
I). Thus xn ∈ (
√
I :
√
I) for every n ≥ 1.
Hence xnI ⊆ xn√
I ⊆ √
I ⊆ R and consequently xn ∈ (R : I) for every n ≥ 1.
Conversely, let x ∈ K and xn ∈ (R : I) for all n ≥ 1. If t ∈ √
I, then
t
m ∈ I for some m ≥ 1. Hence xnt
m ∈ R for each n ≥ 1. Thus (xt)m ∈ R.
We can assume that m = 2k for some k ≥ 1. Therefore xt ∈ R, because R is a
square root closed domain. On the other hand, xnt
m ∈ R for all n ≥ 1 implies
that (xt)m+1 = (xm+1t
m)t ∈ √
I. Hence xt ∈ √
I. Therefore x ∈ (
√
I :
√
I).
✷
Proposition 4. For every ideal I of the square root closed domain R, the
following statements are satisfied:
1. (√
I :
√
I) ⊆ I−1.
2. (√
I :
√
I) is a square root closed domain.
3. I−1 is a ring if and only if I−1 = (√
I :
√
I).
4. If I−1 is a ring, then I−1 is a square root closed domain.
5. If I is a radical ideal, then (I : I) is a square root closed domain. Furthermore,
I−1 = (I : I) if and only if I−1 is a ring.
Proof. 1. It is trivial by Theorem 3.
2. Let x2 ∈ (
√
I :
√
I), for x ∈ K. Thus by Theorem 3, x2n ∈ I−1 for every
n ≥ 1. Hence tx2n ∈ R for each t ∈ I and n ≥ 1. Then (txn)2 ∈ R and so
txn ∈ R, for all n ≥ 1. Therefore xn ∈ (R : I) for every n ≥ 1 and consequently
x ∈ (
√
I :
√
I).On square root closed domains and duality 371
3. Suppose that I−1 is a ring and x ∈ I−1. Then xn ∈ I−1 for all n ≥ 1, and so
x ∈ (
√
I :
√
I), by Theorem 3. Therefore I−1 ⊆ (
√
I :
√
I) and consequently
I−1 = (√
I :
√
I) by 1. The other implication is clear.
4 and 5. It is obvious, by 2 and 3. ✷
Corollary 5. Let R be a square root closed domain and I and J be ideals of
R. Then the following statements are hold:
1. (√
I :
√
I) is the largest subring of (R : I).
2. If I ⊆ J, then (
√
J :
√
J) ⊆ (
√
I :
√
I).
3. If I−1 is a ring, then √
I is an ideal of I−1.
Proof. 1. It is clear, by 1 and 3 of Proposition 4.
2. Let x ∈ (
√
J :
√
J). Thus xn ∈ (R : J) for every n ≥ 1, by Theorem 3.
I ⊆ J implies that (R : J) ⊆ (R : I), and so xn ∈ (R : I) for all n. Therefore
x ∈ (
√
I :
√
I).
3. It follows from 3 of Proposition 4. ✷
Proposition 6. Let R be a square root closed domain and I ⊆ J be ideals of
R with the same radical. If I−1 is a ring, then I−1 = J−1 = (√
I :
√
I).
Proof. By 1 and 3 of Proposition 4, we have
I−1 = (√
I :
√
I)=(√
J :
√
J) ⊆ (R : J) = J−1 ⊆ I−1
. ✷
If I is an ideal of integral domain R, then In ⊆ I and √
In = √
I, for each
n ≥ 1. Therefore we have the following:
Corollary 7. For every ideal I of the square root closed domain R, if (R : In)
is a ring, for some n > 1, then I−1 is a ring. ✷
We recall that, a prime ideal P of the integral domain R is said to be
strongly prime if whenever xy ∈ P, for x, y ∈ K, then either x ∈ P or y ∈ P.
Proposition 8. Let R be an integral domain and I be an ideal of R such that
I−1 is a ring. If P is a strongly prime ideal of R containing I, then I−1 is a
square root closed domain.
Proof. Let x2 ∈ I−1, for x ∈ K. Then x2I ⊆ R. Hence (xI)2 = (x2I)I ⊆ I ⊆
P. Thus xI ⊆ P, because P is a strongly prime. Therefore, x ∈ (P : I) ⊆ (R :372 R. Jahani-Nezhad
I) = I−1. ✷
We note that, if I is an ideal of the integral domain R and P is a minimal
prime ideal of I, then √IRP = √P RP = P RP . For every element a ∈ P, we
have a
1 ∈ P RP =

IRP which implies that an
1 ∈ IRP , for some integer n.
Hence there exists an element s ∈ R P such that san ∈ I and so sa ∈ √
I.
Therefore, we conclude that for every a ∈ P there is an element s ∈ R P
such that sa ∈ √
I.
An element a ∈ K is almost integral over R, if there exists a nonzero
element r ∈ R such that ran ∈ R, for all n ≥ 1. We say that R is completely
integrally closed, if a ∈ K is almost integral over R, then a ∈ R.
Lemma 9. Let R be an completely integrally closed domain and I be an ideal
of R. If P is a minimal prime ideal of I, then (
√
I :
√
I) ⊆ (P : P).
Proof. Let x ∈ (
√
I :
√
I). For each a ∈ P, by above note, sa ∈ √
I, for
some s ∈ R P. Then saxn ∈ √
I, for all n ≥ 1, because xn ∈ (
√
I :
√
I).
Hence s(ax)n = an−1(saxn) ∈ √
I, for each n ≥ 1 and so ax ∈ R, because R is
completely integrally closed. Since sax ∈ √
I ⊆ P and s ∈ P, then ax ∈ P, it
follows that x ∈ (P : P). ✷
Proposition 10. Let R be a square root closed domain, I be an ideal of R
and P is a minimal prime ideal of I. If R is also completely integrally closed,
then the following statements are hold:
1. (√
I :
√
I)=(P : P).
2. If I−1 is a ring, then I−1 = P −1 = (P : P).
Proof. 1. It follows from 2 of Corollary 5 and Lemma 9.
2. Since I ⊆ P, then P −1 ⊆ I−1. On the other hand, I−1 is a ring, then
I−1 = (√
I :
√
I), by 3 of Proposition 4. Therefore by 1, we have
I−1 = (√
I :
√
I)=(P : P) ⊆ P −1 ⊆ I−1
. ✷
For every ideal I of the integral domain R, we have
(R : I) ⊆ (R : I2
) ⊆ (R : I3
) ⊆···⊆ (R : In) ⊆···
Therefore we can state the following result:
Proposition 11. Let R be a square root closed domain and I be an ideal of
R. If (R : In+1)=(R : In), for some n ≥ 1, then

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พีชคณิต ปี 5 สมุดรายวันต่างประเทศ 2011 หมายเลข 8, 369-374รากปิดโดเมนและทวิภาวะReza Jahani-Nezhadภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยของ Kashan, Kashan อิหร่าน[e-mail]บทคัดย่อในบันทึกนี้ เราสมมติให้ R คือ โดเมนเป็นทฤษฎีบูรณาการกับผลหารฟิลด์คุณ เราแนะนำแนวคิดของโดเมนรากปิด และแล้วเราเรียนเมื่อ I−1 = { x ∈ K | ⊆สิ R } เป็น สำหรับการ nonzeroห้องพระรากปิดโดเมนคณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 13B22, 13G 05คำสำคัญ: รากปิดราคาโดเมน ขอนายกรัฐมนตรีเหมาะ คู่ของการสำรองห้องพักบทนำ 1ทั้งนี้กระดาษ R จะเป็นโดเมนอินทิกรัลจำกัดเขต K จะแสดงผลหารของฟิลด์และจะเหมาะ nonzero ของอาร์ เรียก J K R-submoduleถ้ามีองค์∈ R เช่นเศษเหมาะที่ aJ ⊆อาร์ สำหรับการnonzero เศษเหมาะ J ของ R เหมาะเป็นเศษ (R: J) = { x ∈ K | xJ ⊆R } เรียกว่าคู่ของ J และเราแสดง ด้วย J−1 ใน [7], Huckaba และ Papickเรียนถามเมื่อ I−1 เป็น แหวน และได้รับคำถามนี้เพิ่มเติมความสนใจ [1-6]เราทราบในขณะนั้น (ฉัน: ฉัน) เป็นการ overring R, I−1 จำเป็นต้องไม่มีวงแหวนทั้งหมด วัตถุประสงค์กระดาษนี้จะกำหนดเวลา I−1 แหวน ที่ฉันเหมาะ nonzero รากปิดโดเมนได้ แต่เราต้องเริ่มต้นด้วยนิยามต่อไปนี้:ข้อกำหนด 1 คือรากปิดโดเมน โดเมนอินทิกรัลจำกัดเขต Rเมื่อใดก็ตาม สำหรับทุก x ∈ K ถ้า x ∈ R 2 แล้ว x ∈ R.370 R. Jahani-Nezhadถ้า R คือ โดเมนเป็นส่วนปิด แล้ว R คือ รากปิดโดเมนแต่ Z [i√3] โดเมนรากปิดซึ่งจะไม่ปิดส่วนนั้นข้อเสนอที่ 2 ให้ R เป็นโดเมนรากปิด และ S เป็น multiplicativelyปิดชุดย่อยของอาร์ แล้ว S−1R เป็นโดเมนรากปิดหลักฐานการ ให้ x ∈ K และ x 2 ∈ S−1R มีเป็น∈ R และ s ∈ S ให้x 2 =เป็นs. ดังนั้น sx2 =∈ R และอื่น ๆ (sx) 2 = sa ∈อาร์ เนื่องจาก R เป็นรากปิดโดเมน แล้ว sx ∈อาร์ ดังนั้น x = sxs∈ S−1อาร์✷ทฤษฎีบท 3 ให้ R เป็นรากที่ปิดโดเมนและสามารถเหมาะของอาร์แล้ว(√ฉัน:√I) = { x ∈ K | xn ∈ (R: ฉัน) สำหรับทุก n ≥ 1 }หลักฐานการ สมมติว่า x ∈(√ฉัน:√ค่ะ. (∈ xn ดังนี้√ฉัน:√ค่ะสำหรับทุก n ≥ 1ดังนั้น xnI ⊆ xn√I ⊆ √ฉัน⊆ R และดัง xn ∈ (R: ฉัน) สำหรับทุก n ≥ 1ในทางกลับกัน ให้ x ∈∈ K และ xn (R: ฉัน) สำหรับทุก n ≥ 1 ถ้า t ∈√ฉัน แล้วtm ∈สำหรับบาง m ≥ 1 ฉัน ดังนั้น xnt∈ m R สำหรับทุก n ≥ 1 M (xt) ∈อาร์ดังนั้นเราสามารถสมมติให้ m = 2k สำหรับบาง k ≥ 1 ดังนั้น xt ∈ R เนื่องจาก R เป็นรากปิดโดเมน ในทางกลับกัน xntหมายถึง m ∈ R สำหรับทุก n ≥ 1ที่ m (xt) + 1 = (xm + 1tm) t ∈√I. Hence xt ∈√I. ดังนั้น x ∈(√ฉัน:√I)✷เสนอ 4 สำหรับเหมาะทุก ฉันรากปิดโดเมน R,พอใจคำสั่งดังต่อไปนี้:1. (√ฉัน:√ค่ะ⊆ I−12. (√ฉัน:√I) เป็นรากที่สองปิดโดเมน3. I−1 เป็น และเมื่อ I−1 = (√ฉัน:√I)4. ถ้า I−1 เป็น แล้ว I−1 เป็นโดเมนรากปิด5. ถ้าผมจะเหมาะที่รุนแรง (ฉัน: ฉัน) คือรากที่สองปิดโดเมน นอกจากนี้I−1 = (ฉัน: ฉัน) ถ้าและเพียงแต่ถ้าเป็น I−1หลักฐานการ 1. มันเป็นเรื่องขี้ปะติ๋ว โดยทฤษฎีบท 32. ให้ x 2 ∈(√ฉัน:√ค่ะ สำหรับ x ∈คุณ ดังนั้น โดยทฤษฎีบท 3, x2n ∈ I−1 สำหรับทุกn ≥ 1 ดังนั้น tx2n ∈ R สำหรับแต่ละ t ∈ n ≥ 1 และฉัน แล้ว (txn) 2 ∈ R และได้txn ∈ R สำหรับทุก n ≥ 1 ดังนั้น xn ∈ (R: ฉัน) สำหรับทุก n ≥ 1 และจากนั้นx ∈ (√ฉัน:√I)ในโดเมนรากปิดและทวิภาวะ 3713. สมมติว่า I−1 แหวนและ x ∈ I−1 แล้ว xn ∈ I−1 สำหรับทุก n ≥ 1 และx ∈ (√ฉัน:√ค่ะ โดยทฤษฎีบท 3 ดังนั้น I−1 ⊆(√ฉัน:√ค่ะ และจากนั้นI−1 = (√ฉัน:√I) 1 เนื่องจากเป็นที่ชัดเจน4 และ 5 เป็นที่ชัดเจน 2 และ 3 ✷Corollary 5 ให้ R เป็นรากที่ปิดโดเมน และผม และ J เป็นอุดมคติของR. แล้ว ประโยคค้างไว้:1. (√ฉัน:√ค่ะเป็น subring ที่ใหญ่ที่สุดของ (R: ฉัน)2. ถ้าฉัน⊆ J, (แล้ว√เจ:√J) ⊆ (√ฉัน:√I)3. ถ้า I−1 แหวน แล้ว√ฉันเป็นเหมาะของ I−1หลักฐานการ 1. เป็นที่ชัดเจน 1 และ 3 ของข้อเสนอ 42. ให้ x ∈(√เจ:√J) ดังนี้ xn ∈ (R: J) สำหรับทุก n ≥ 1 ทฤษฎีบท 3ฉัน⊆ J หมายถึงที่ (R: J) ⊆ (R: ฉัน), และให้ xn ∈ (R: ฉัน) สำหรับดังนั้นตอนเหนือทั้งหมดx ∈ (√ฉัน:√I)3. เป็นไปตาม 3 ของข้อเสนอ 4 ✷เสนอ 6 ให้ R เป็นรากที่ปิดโดเมนและ⊆ J เป็นอุดมคติของR มีรัศมีเดียวกัน ถ้า I−1 แหวน แล้ว I−1 = J−1 = (√ฉัน:√I)หลักฐานการ 1 และ 3 ของข้อเสนอ 4 เรามีI−1 = (√ฉัน:√I)=(√เจ:√เจ) ⊆ (R: J) = J−1 ⊆ I−1. ✷ผมว่าเหมาะเมนทฤษฎีบูรณาการ R แล้ว ใน⊆ฉันและ√ใน =√ฉัน แต่ละn ≥ 1 ดังนั้น เราได้ต่อไปนี้:Corollary 7 สำหรับเหมาะทุกฉันรากปิดโดเมน R ถ้า (R: ใน)เป็นแหวน สำหรับบาง n > 1 แล้ว I−1 เป็น ✷เรานึกว่า นายก P เหมาะของโดเมนอินทิกรัลจำกัดเขต R กล่าวได้ว่า เป็นถ้าเมื่อใดก็ตามเฉพาะอย่างยิ่ง xy ∈ P, x, y ∈ K แล้วทั้ง x ∈∈ P หรือ y P. สำหรับเสนอ 8 ให้ R เป็นโดเมนอินทิกรัลจำกัดเขต และฉันเหมาะของ R ที่I−1 เป็นแหวน ถ้า P เป็นเหมาะอย่างยิ่งเฉพาะของ R ที่ประกอบด้วยฉัน แล้ว I−1 การรากปิดโดเมนหลักฐานการ ให้ x 2 ∈ I−1 สำหรับ x ∈คุณ แล้ว x2I ⊆ R. ดังนั้น (ซี) 2 = (x2I) ฉัน⊆ฉัน⊆P. ดังสิ⊆ P เนื่อง จาก P เป็นเฉพาะอย่างยิ่ง ดังนั้น x ∈ (P: ฉัน) ⊆ (R: 372 R. Jahani-NezhadI) = I−1 ✷เราทราบว่า ถ้าฉันเหมาะของโดเมนอินทิกรัลจำกัดเขต R และ P เป็นตัวน้อยนายกสำรองห้องพักของฉัน แล้ว √IRP = √P RP = P RP สำหรับทุกองค์ประกอบ∈ P เรามีการ1 ∈ P RP =IRP ซึ่งหมายถึงการที่มี∈ 1 IRP สำหรับจำนวนเต็ม n บางจึง มีการองค์ประกอบ s ∈ R P เช่น∈ซานที่ฉันและให้ sa ∈√ฉันดังนั้น เราสรุปว่า สำหรับทุกการ∈ P มีเป็น∈ s เป็นองค์ประกอบ R Pที่ sa ∈√ฉันองค์∈ K เป็นเกือบเป็นผ่าน R ถ้ามีการ nonzeroองค์ประกอบ r ∈ R ดังกล่าวที่วิ่ง∈ R สำหรับทุก n ≥ 1 เราบอกว่า R จะสมบูรณ์ส่วนปิด ถ้า∈ K อยู่เกือบเป็น R แล้วเป็น∈อาร์จับมือ 9 ให้ R เป็นโดเมนสมบูรณ์ส่วนปิด และฉันได้เหมาะของอาร์ ถ้า P เหมาะสำคัญน้อยที่สุดของฉัน แล้ว(√ฉัน:√ค่ะ⊆ (P: P)หลักฐานการ ให้ x ∈(√ฉัน:√I) สำหรับแต่ละ∈ P โดยอยู่เหนือบันทึกย่อ sa ∈√สำหรับบาง∈ s R พี แล้ว saxn ∈√ฉัน สำหรับทุก n ≥ 1 เนื่องจาก xn ∈(√ฉัน:√I)ดังนั้น n s (ax) = an−1(saxn) ∈√ฉัน สำหรับทุก n ≥ 1 และให้ ax ∈ R เนื่องจาก Rปิดทั้งหมดส่วน ตั้งแต่แซ็กซ์∈√ฉัน⊆∈ P และ s P แล้ว ax ∈ P มันตามที่ x ∈ (P: P) . ✷เสนอ 10 ให้ R เป็นโดเมนรากปิด ฉันไม่เหมาะของ Rและ P คือ เหมาะเฉพาะน้อยที่สุดของฉัน ถ้ายังสมบูรณ์ส่วนปิด Rแล้ว ประโยคค้างไว้:1. (√ฉัน:√ค่ะ =(P: P)2. ถ้า I−1 แหวน แล้ว I−1 = P −1 = (P: P)หลักฐานการ 1.ดังต่อไปนี้จาก 2 Corollary 5 และ 9 จับมือ2. ตั้งแต่ฉัน⊆ P แล้ว P −1 ⊆ I−1 บนมืออื่น ๆ I−1 เป็น แล้วI−1 = (√ฉัน:√ค่ะ 3 ของข้อเสนอ 4 ดังนั้น 1 เรามีI−1 = (√ฉัน:√ค่ะ =(P: P) ⊆ P −1 ⊆ I−1. ✷สำหรับเหมาะทุกฉันโดเมนทฤษฎีบูรณาการ R เรามี(R: ฉัน) ⊆ (R: I2) ⊆ (R: I3) ⊆···⊆ (R : In) ⊆···ดังนั้น เราสามารถระบุผลลัพธ์ต่อไปนี้:ข้อเสนอที่ 11 ให้ R เป็นรากที่ปิดโดเมนและสามารถเหมาะของR. ถ้า (R: ใน + 1) =(R: In) สำหรับบาง n ≥ 1 จากนั้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วารสารนานาชาติของพีชคณิต , ฉบับที่ 5 , 2011 , ฉบับที่ 8 , 369 - 374
บนกรณฑ์ปิดโดเมนและคู่

nezhad Reza jahani ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยของ Kashan อิหร่าน Kashan
, ,
jahanian @ kashanu . ac.ir

สรุปในบันทึกนี้เราสมมติว่า R เป็นโดเมน บูรณาการกับไอคิว
สนาม K . เราแนะนำแนวคิดของโดเมนและ
ปิดรูตเราก็เรียนตอน− 1 = { x ∈ K | Xi ⊆ R } เป็นแหวนสำหรับ 0
เหมาะผมรูทปิดโดเมน .
คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 13b22 13g05
, คำหลัก : กรณฑ์ปิดโดเมน ; ขอนายกในอุดมคติ ; คู่ของ

1
ตลอดเบื้องต้นเหมาะ กระดาษนี้ , R จะเป็นโดเมนจำนวนเต็ม k จะแสดงด้านความฉลาดทางอารมณ์
และผมจะเหมา 0 R .การ r-submodule J K เรียกว่า
เศษส่วนเหมาะถ้ามีองค์ประกอบ∈ R เช่น เอเจ ⊆
0 R . สำหรับเศษส่วนอุดมคติ J R , เศษส่วนอุดมคติ ( r : J ) = { x ∈ K | XJ ⊆
r } เรียกว่าคู่ของเจ และเราแสดงกับ บริษัท เวสเทิร์น เจ 1 . ใน [ 7 ] , huckaba papick
และเรียนถามเมื่อฉัน− 1 เป็นแหวน และคำถามนี้ได้รับความสนใจเพิ่มเติมใน
[ 1-6 ] .
เราทราบว่าในขณะที่ฉัน :ฉัน ) เป็น overring R , − 1 ไม่ต้องแหวน
ทั้งหมด จุดประสงค์ของเราในกระดาษนี้เพื่อตรวจสอบเมื่อฉัน− 1 เป็นแหวนที่ฉัน
เหมาะ 0 ของรูตปิดโดเมน แต่เราต้องเริ่มด้วย

นิยามความหมายต่อไปนี้ : 1 . R โดเมนจำนวนเต็มเรียกว่ารากที่สองปิดโดเมน
เมื่อทุก x ∈ K ถ้า x2 ∈ R แล้ว x ∈ r.370 jahani nezhad
Rถ้า r เป็นโดเมนส่วนปิดแล้ว R คือรากที่สองปิดโดเมน แต่ Z [ ผม

√ 3 ] เป็นกรณฑ์ปิดโดเมนซึ่งไม่มีส่วนปิด .
) 2 . ให้ r เป็นรูตปิดโดเมนและ S เป็น multiplicatively
ปิดเซตย่อยของ R . S แล้ว− 1R คือรากที่สองปิดโดเมน .
พิสูจน์ ให้ x ∈ K x2 ∈ s − 1R ยังมี∈ R และ S ∈ s เช่น
x2 =
s

ดังนั้น sx2 = ∈ R แล้ว ( SX ) 2 = ซา∈ R . เมื่อ r คือ
รูตปิดโดเมนแล้ว SX ∈ R . ดังนั้น x = SX
s
∈ s − 1
.
✷ทฤษฎีบท 3 . ให้ r เป็นรูตปิดโดเมนและฉันเป็นอุดมคติของ R .
แล้ว

√
:

ผม√ ) = { x ∈ K | คริสเตียน∈ ( R : I ) สำหรับ n ≥ 1 } .
พิสูจน์ สมมติว่า X (

ผม∈√ :

ผม√ ) ดังนั้น คริสเตียน∈ (
√
:

ผม√ ) สำหรับทุก n ≥ 1 .
ดังนั้น xni ⊆คริสเตียน√⊆√

ฉันผม⊆ R และจากนั้น คริสเตียน∈ ( R : i ) สำหรับทุก n ≥ 1 .
แต่ให้ x ∈ K และ คริสเตียน∈ ( R : I ) สำหรับ n ≥ 1 ถ้า∈
T
T
√ผมแล้ว M ∈ฉันบาง M ≥ 1 ดังนั้น xnt
M ∈ R แต่ละ n ≥ 1 ดังนั้น ( XT ) M ∈ R .
เราสามารถสมมติว่า M = 2K สำหรับ K ≥ 1 ดังนั้น XT ∈ R เพราะ R เป็น
รูตปิดโดเมน บนมืออื่น ๆ , R ∈ M xnt
ทั้งหมด n ≥ 1 นัย
( XT ) ม. 1 = ( XM 1t
m ) T
∈√ผมจึง∈ XT √
ฉันจึง∈ X (
√
:

ผม√ )

✷ข้อเสนอ 4 เหมาะสำหรับทุกชั้นของรูตปิดโดเมน r ,
ข้อความต่อไปนี้จะพอใจ :
1 ( √
:

ผม√ ) ⊆ผม− 1
2 ( √
:

ผม√ ) เป็นรูตปิดโดเมน .
3 ฉัน− 1 เป็นแหวน ถ้าและเพียงถ้าฉัน− 1 = ( √
:
√
i )
4 ถ้าฉัน− 1 เป็นแหวน แล้ว− 1 เป็นรูตปิดโดเมน .
5 ถ้าผมเป็นอุดมคติหัวรุนแรง แล้ว ( :ฉัน ) เป็นรูตปิดโดเมน นอกจากนี้ − 1 =
ฉัน ( ผม ) ถ้าและเพียงถ้าฉัน− 1 เป็นแหวน .
พิสูจน์ 1 . มันเป็นเรื่องไร้สาระโดยทฤษฎีบท 3 .
2 ให้∈ X2 (
√
:

ผม√ ) สำหรับ x ∈ K . ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 3 x2n ∈ผม− 1 สำหรับทุก
n ≥ 1 ดังนั้น tx2n ∈ R แต่ละที∈ผมและ≥ 1 แล้ว ( txn ) 2 ∈ R แล้ว
txn ∈ r , n ≥ทั้งหมด 1 ดังนั้น คริสเตียน∈ ( R : i ) สำหรับทุก n ≥ 1 และจากนั้น
x ∈ (
√
:

ผม√ )รูตปิดบนโดเมนและคู่ 371
3 สมมติว่าผม− 1 เป็นแหวนและ X ∈ผม− 1 แล้วซิน∈ผม− 1 สำหรับทุก n ≥ 1 และ∈
x (
√
:

ผม√ ) โดยทฤษฎีบท 3 . ดังนั้นฉัน⊆− 1 (
√
:


√ ) และจากนั้นฉัน− 1 = ( √
:

ผม√ ) โดย 1 ความหมายอื่นๆชัดเจน .
4 และ 5 เห็นได้ชัด , 2 และ 3 ✷
ควันหลง 5 ให้ r เป็นรูตปิดโดเมนและฉันและ J เป็นอุดมคติของ
Rแล้วงบต่อไปนี้จะถือ :
1 ( √
:

ผม√ ) เป็นที่ใหญ่ที่สุด subring ( R : I )
2 ถ้าผม⊆ J (
√
J :
√ J (

) ⊆√
:
√
I )
3 ถ้าฉัน− 1 เป็นแหวน แล้ว√
ฉันเป็นอุดมคติของ− 1 .
พิสูจน์ 1 . มันมีความชัดเจน โดย 1 และ 3 ข้อเสนอ 4
2 ให้ x ∈ (
√
J :
√
J ) ดังนั้น คริสเตียน∈ ( r : J ) สำหรับทุก n ≥ 1 โดยทฤษฎีบท 3 .
ผม⊆ J ( r : J ) พบว่า ⊆ ( R : I ) และซิน∈ ( R :ผม ) ทั้งหมด . ดังนั้น
x ∈ (
√
:
√
I )
3 มันเป็นไปตามข้อเสนอจาก 3 4 ข้อเสนอ✷
6 ให้ r เป็นรูตปิดโดเมนและฉัน⊆ J เป็นอุดมคติของ
R ด้วยความรุนแรงเหมือนกัน ถ้าฉัน− 1 เป็นแหวน แล้ว− 1 = J − 1 = ( √
:
√
i )
พิสูจน์ โดย 1 และ 3 ข้อเสนอ 4 เรามี
ฉัน− 1 = ( √
:

ผม√ ) = ( √
J :
√
J ) ⊆ ( r : J ) j = − 1 ⊆ผม− 1

✷
ถ้าฉันเป็นอุดมคติของโดเมนเป็น R ,แล้วใน⊆ฉันและ√
=
ฉันใน√ แต่ละ
n ≥ 1 ดังนั้นเราจึงมีข้อพิสูจน์ดังต่อไปนี้ :
7 เหมาะสำหรับทุกชั้นของรูตปิดโดเมน r ( r :
) ถ้าเป็นแหวน บาง n > 1 แล้วผม− 1 เป็นแหวน ✷
เราจำได้ว่า นายกรัฐมนตรีของอุดมคติ P R โดเมนจำนวนเต็มเป็นนายกรัฐมนตรีขอ ถ้าเมื่อใดก็ตามที่ XY ∈
p , x , y ∈ K , X หรือ Y .
p ∈∈ข้อเสนอ 8ให้ r เป็นโดเมนหนึ่งและผมเหมาะเป็น R เช่น
ฉัน− 1 เป็นแหวน ถ้า p เป็นอุดมคตินายกรัฐมนตรีขอ R ที่มีฉัน งั้นฉัน− 1 คือรากที่สองปิดโดเมน
.
พิสูจน์ ให้ x2 ∈ผม− 1 สำหรับ x ∈ K แล้ว x2i ⊆ R . ดังนั้น ( Xi ) 2 = ( x2i ) ผม⊆ผม⊆
หน้าดังนั้นซี⊆ P เพราะ P เป็นขอนายก ดังนั้น ∈ x ( p : I ) ⊆ ( R : R . jahani 372 nezhad
) = ฉัน− 1 ✷
เราทราบที่ถ้าผมเป็นอุดมคติของส่วนหนึ่งโดเมน R P เหมาะเฉพาะน้อยที่สุด
ของฉัน แล้ว√ IVL = √ P RP = P RP . ทุกองค์ประกอบ∈ P เรา

1 P มี∈ RP =

IVL ซึ่งหมายถึงว่า
1 ∈ควบคู่สำหรับบางจำนวนเต็ม N .
จึงมีองค์ประกอบของ∈ R P เช่นที่ ซาน ∈ฉันและซา∈√
.
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าสำหรับทุก เป็น∈ P มีองค์ประกอบของ∈ R P
เช่น ซา∈√
.
เป็นองค์ประกอบ∈ K เกือบจะครบถ้วนกว่า R , ถ้าไม่มี 0
องค์ประกอบ R ∈ R เช่นที่วิ่ง∈ r , n ≥ทั้งหมด 1 เราว่า R สมบูรณ์
ส่วนปิด ถ้า∈ K เกือบจะครบถ้วนกว่า R แล้ว∈ R .
แทรก 9 ให้ r เป็นอย่างสมบูรณ์ส่วนปิดโดเมนและผมเหมาะเป็น
R . ถ้า P เป็นอุดมคตินายกรัฐมนตรีน้อยที่สุดของฉันแล้ว (
√
:

ผม√ ) ⊆ ( P : p )
พิสูจน์ ให้ x ∈ (
√
:

ผม√ )สำหรับแต่ละ∈ P โดยเหตุข้างต้น ซา∈√

ผม ในบางครั้ง∈ R หน้าแล้ว saxn ∈√
ฉัน , สำหรับ n ≥ 1 เพราะซิน∈ (
√
:
√

ดังนั้นฉัน ) . S ( ขวาน ) n = − 1 ( saxn ) ∈√
ฉัน , แต่ละ n ≥ 1 และขวาน∈ R เพราะ R
อย่างสมบูรณ์ส่วนที่ปิด ตั้งแต่ แซ็ค∈√
ฉัน⊆ P และ S  ∈ P แล้วขวาน∈ p ,
1 X นั้น∈ ( P : P ) ✷
ข้อเสนอ 10 ให้ r เป็นรูตปิดโดเมนผมเหมาะเป็น R
และ P เป็นอุดมคตินายกรัฐมนตรีน้อยที่สุดของฉันถ้า R ยังเป็นสมบูรณ์ส่วนปิด
แล้วงบต่อไปนี้จะถือ :
1 ( √
:

ผม√ ) = ( p : P )
2 ถ้าฉัน− 1 เป็นแหวน แล้ว− 1 = − 1 = P ( P : p )
พิสูจน์ 1 . มันคือจาก 2 ควันหลง 5 และแทรก 9
2 ตั้งแต่ผม⊆ P , P − 1 ⊆ผม− 1 บนมืออื่น ๆ , − 1 เป็นแหวนแล้ว
ฉัน− 1 = ( √
:

ผม√ ) โดย 3 ข้อเสนอ 4 เพราะฉะนั้นเราต้อง
1ฉัน− 1 = ( √
:

ผม√ ) = ( P : P ) ⊆ P − 1 ⊆ผม− 1

✷
ทุกอุดมคติของ R โดเมนจำนวนเต็ม เรามี
( R : I ) ⊆ ( R : I2
) ⊆ ( R : I3
) ⊆···⊆ ( R : ) ⊆···
ดังนั้นเราสามารถระบุผลลัพธ์ต่อไปนี้ :
) 11 . ให้ r เป็นรูตปิดโดเมนและฉันเป็นอุดมคติของ
( R : R . ถ้าใน 1 ) = ( R : N ) , บาง≥ 1 แล้ว