Hence, the evolution of mathematica

Hence, the evolution of mathematical analyses on solidification and melting problems
has undergone three distinct eras. Most of the earlier investigations were confined
to one-dimensional diffusion-controlled problems with very simple geometries due to
constraints in the tools available to scientists and engineers at that time. The analytical
solutions developed during this first era serve as a cornerstone of this discipline and are
still used today as standard references to validate the numerical models. The advent
of computers, a couple of decades ago, enabled the consideration of multidimensional
problems with more complex geometries. A new era of analysis in the solidification
and melting problems commenced with the birth of numerical methods. Perhaps owing
to the limited power of the earlier computers, the numerical models in the second
era that were developed were based on one equation (e.g., and energy or diffusion
equation) and omission of convection. With the help of the more advanced and powerful
computers which have been developed in the past decade, mathematical modelling has
proceeded into a modern era. More sophisticated numerical models have been developed
374 H Hu and A Argyropoulos
to handle multidimensional phenomena involving convection as well as the presence of
the moving boundary in complex geometries. The succeeding review will summarize
the major developments in mathematical analyses of the phase change problems involved
in melting and solidification phenomena. The intention of this review is to present and
compare some of the well known and novel numerical methods available to solve phase
change problems since it is impossible to review all the existing methods within one
article.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ดังนั้น วิวัฒนาการของคณิตศาสตร์วิเคราะห์ solidification และละลายปัญหามีเปลี่ยนช่วงสามแตกต่างกัน ส่วนใหญ่การตรวจสอบก่อนหน้านี้ได้ถูกคุมขังone-dimensional แพร่ควบคุมเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตอย่างมากเนื่องข้อจำกัดในการเครื่องมือที่นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรที่พร้อมใช้งาน การวิเคราะห์ทางโซลูชั่นที่พัฒนาในยุคแรกนี้เป็นหลักสำคัญของวินัยนี้ และมียัง ใช้ในปัจจุบันเป็นข้อมูลอ้างอิงมาตรฐานการตรวจสอบรูปแบบตัวเลข การถือกำเนิดคอมพิวเตอร์ สองทศวรรษที่ผ่านมา การพิจารณามิติที่เปิดใช้งานปัญหาเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น ยุคใหม่ของการวิเคราะห์ในการ solidificationและละลายปัญหาเริ่ม ด้วยเกิดเลขวิธี บางที owingคอมพิวเตอร์ก่อนหน้านี้ รูปแบบตัวเลขในที่สองอำนาจจำกัดยุคที่ได้รับการพัฒนาได้ตามสมการที่หนึ่ง (เช่น และพลังงานหรือแพร่สมการ) และกระทำการอันของการพาการ ด้วยความช่วยเหลือ ของสูงขึ้น และมีประสิทธิภาพคอมพิวเตอร์ที่ได้รับการพัฒนาในทศวรรษ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้ครอบครัวในยุคสมัยใหม่ ได้รับการพัฒนารูปแบบตัวเลขมากขึ้น374 H หูและ Argyropoulosการจัดการหลายปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการพาเป็นของขอบเขตการเคลื่อนไหวในรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน จะสรุปทบทวนประสบความสำเร็จการพัฒนาหลักในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของระยะเปลี่ยนแปลงปัญหาที่เกี่ยวข้องในปรากฏการณ์ละลายและ solidification เจตนาของบทความนี้จะนำเสนอ และเปรียบเทียบของนวนิยาย และรู้จักตัวเลขวิธีการในการแก้ไขขั้นตอนเปลี่ยนปัญหาเนื่องจากไม่สามารถตรวจสอบวิธีการที่มีอยู่ทั้งหมดภายในหนึ่งบทความ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ดังนั้นวิวัฒนาการของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในการแข็งตัวและการละลายปัญหาที่
มีระดับสามยุคที่แตกต่าง ส่วนใหญ่ของการตรวจสอบก่อนหน้านี้ถูกกักตัว
เพื่อควบคุมการแพร่กระจายของปัญหาหนึ่งมิติที่มีรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายมากเนื่องจาก
ข้อ จำกัด ในการใช้เครื่องมือที่มีให้นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรในช่วงเวลานั้น การวิเคราะห์
การแก้ปัญหาการพัฒนาในยุคแรกนี้ทำหน้าที่เป็นรากฐานที่สำคัญของวินัยนี้และ
ยังคงใช้วันนี้เป็นข้อมูลอ้างอิงมาตรฐานในการตรวจสอบแบบจำลองเชิงตัวเลข การปรากฎตัว
ของเครื่องคอมพิวเตอร์ไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมาที่ผ่านมาการเปิดใช้งานการพิจารณาของหลายมิติ
ปัญหาเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น ยุคใหม่ของการวิเคราะห์ในการแข็งตัว
และการละลายปัญหาเริ่มกับการเกิดของวิธีการเชิงตัวเลข บางทีอาจจะเป็นเพราะ
มีการ จำกัด พลังงานของเครื่องคอมพิวเตอร์ก่อนหน้านี้แบบจำลองเชิงตัวเลขในสอง
ยุคที่มีการพัฒนาอยู่บนพื้นฐานของสมการอย่างใดอย่างหนึ่ง (เช่นพลังงานหรือการแพร่
สม) และละเลยการหมุนเวียน ด้วยความช่วยเหลือของขั้นสูงและมีประสิทธิภาพ
เครื่องคอมพิวเตอร์ที่ได้รับการพัฒนาขึ้นในทศวรรษที่ผ่านมาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้
ดำเนินการเข้าสู่ยุคที่ทันสมัย แบบจำลองเชิงตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้นได้รับการพัฒนา
374 H? Hu และ Argyropoulos
ที่จะจัดการกับปรากฏการณ์หลายมิติที่เกี่ยวข้องกับการพาความร้อนเช่นเดียวกับการปรากฏตัวของ
ขอบเขตการเคลื่อนไหวในรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน การตรวจสอบที่ประสบความสำเร็จจะสรุป
พัฒนาการที่สำคัญในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการเปลี่ยนแปลงขั้นตอนการมีส่วนร่วม
ในการละลายและการแข็งตัวปรากฏการณ์ ความตั้งใจในการตรวจสอบนี้คือการนำเสนอและ
เปรียบเทียบบางส่วนของที่รู้จักกันดีและนวนิยายวิธีการเชิงตัวเลขที่มีอยู่เพื่อแก้ปัญหาขั้นตอนการ
แก้ไขปัญหาการเปลี่ยนแปลงเพราะมันเป็นไปไม่ได้ที่จะทบทวนทุกวิธีการที่มีอยู่ภายในหนึ่ง
บทความ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ดังนั้น วิวัฒนาการของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และปัญหาในการหล่อหลอม
ได้รับสามยุค ที่แตกต่างกัน ที่สุดของการตรวจสอบก่อนหน้านี้ถูกคับ
เพื่อควบคุมปัญหาในการแพร่กระจายง่ายมากกับเรขาคณิตเนื่องจาก
ข้อจำกัดในเครื่องมือที่มีอยู่เพื่อนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรที่
วิเคราะห์โซลูชั่นที่พัฒนาขึ้นในยุคก่อนนี้เป็นเสาหลักของวินัยนี้และ
ยังคงใช้วันนี้เป็นมาตรฐานอ้างอิงในการตรวจสอบแบบจำลองเชิงตัวเลข การมาถึง
คอมพิวเตอร์ สองทศวรรษที่ผ่านมา ทำให้การพิจารณาปัญหาหลายมิติ
ที่มีโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้น ศักราชใหม่ของการวิเคราะห์ในการแข็งตัว
และการหลอมละลายปัญหาเริ่มกำเนิดกับวิธีเชิงตัวเลข บางทีเพราะ
เพื่อจำกัด อำนาจของคอมพิวเตอร์ก่อนหน้านี้ รูปแบบตัวเลขในยุคสอง
ที่ถูกพัฒนาขึ้นจากสมการหนึ่ง ( เช่น พลังงาน หรือสมการการแพร่
) และการละเลยของการพาความร้อน ด้วยความช่วยเหลือของขั้นสูงและมีประสิทธิภาพ
คอมพิวเตอร์ซึ่งได้รับการพัฒนาในทศวรรษที่ผ่านมาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้
เข้าร่วมยุคโมเดิร์น รูปแบบตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้นมีการพัฒนา
374 H Hu และ argyropoulos
เพื่อจัดการกับปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการพา มิติ รวมทั้งการปรากฏตัวของ
ย้ายเขตแดนในรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน ความคิดเห็นที่ประสบความสำเร็จจะสรุป
การพัฒนาหลักในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ
เปลี่ยนเฟสในการหล่อหลอม และปรากฏการณ์ . ความตั้งใจของรีวิวนี้คือปัจจุบันและ
เปรียบเทียบบางส่วนของที่รู้จักกันดีและวิธีเชิงตัวเลขนวนิยายของ เพื่อแก้ไขปัญหา เปลี่ยนเฟส
มันเป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบวิธีการทั้งหมดที่มีอยู่ภายในหนึ่ง
บทความ