Each of these pairs corresponds to

Each of these pairs corresponds to an edge of the directed graph, with (2, 2) and (3, 3) corresponding
to loops.
▲
The directed graph representing a relation can be used to determine whether the relation
We will study directed
graphs extensively in
Chapter 10.
has various properties. For instance, a relation is reflexive if and only if there is a loop at every
vertex of the directed graph, so that every ordered pair of the form (x, x) occurs in the relation.
A relation is symmetric if and only if for every edge between distinct vertices in its digraph
there is an edge in the opposite direction, so that (y, x) is in the relation whenever (x, y) is
in the relation. Similarly, a relation is antisymmetric if and only if there are never two edges
in opposite directions between distinct vertices. Finally, a relation is transitive if and only if
whenever there is an edge from a vertex x to a vertex y and an edge from a vertex y to a
vertex z, there is an edge from x to z (completing a triangle where each side is a directed edge
with the correct direction).
Remark: Note that a symmetric relation can be represented by an undirected graph, which is a
graph where edges do not have directions.We will study undirected graphs in Chapter 10.
EXAMPLE 10 Determine whether the relations for the directed graphs shown in Figure 6 are reflexive, symmetric,
antisymmetric, and/or transitive.
Solution: Because there are loops at every vertex of the directed graph of R, it is reflexive. R is
neither symmetric nor antisymmetric because there is an edge from a to b but not one from b to
a, but there are edges in both directions connecting b and c. Finally, R is not transitive because
there is an edge from a to b and an edge from b to c, but no edge from a to c.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แต่ละคู่นี้ตรงไปขอบของกราฟโดยตรง กับ (2, 2) และ (3, 3) ที่สอดคล้องกันการวนรอบ▲แสดงความสัมพันธ์ของกราฟโดยตรงสามารถใช้เพื่อกำหนดว่าความสัมพันธ์เราจะศึกษาโดยตรงกราฟอย่างกว้างขวางในบทที่ 10มีคุณสมบัติต่าง ๆ ตัวอย่าง ความสัมพันธ์จะสะท้อนกลับถ้าและเดียวมีวงที่ทุกจุดยอดของการส่งกราฟ เพื่อให้ทุกคู่สั่งแบบ (x, x) เกิดขึ้นในความสัมพันธ์เป็นความสัมพันธ์สมมาตรเมื่อและก็ต่อเมื่อสำหรับทุกขอบระหว่างจุดยอดทั้งหมดในไดกราฟของมีขอบเป็นในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้น (y, x) เป็นความสัมพันธ์เมื่อ (x, y) เป็นในความสัมพันธ์ ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์เป็น antisymmetric ถ้าและเดียวไม่มีสองขอบในทิศทางตรงกันข้ามระหว่างจุดยอดทั้งหมด สุดท้าย ความสัมพันธ์มีถ้าสกรรมกริยาและเท่านั้นเมื่อใดก็ตามมีขอบจากจุดยอด x y จุดยอดและขอบจาก y จุดยอดเพื่อการจุด z มีขอบจาก x กับ z (ทำเป็นรูปสามเหลี่ยมแต่ละด้านอยู่ที่ขอบโดยตรงมีการแก้ไขทิศทาง)หมายเหตุ: หมายเหตุว่า สามารถแสดงความสัมพันธ์สมมาตร โดยมีกราฟ undirected ซึ่งเป็นการกราฟที่ขอบไม่มีทิศทาง เราจะเรียนกราฟ undirected ใน 10 บทตัวอย่างที่ 10 กำหนดว่า ความสัมพันธ์ของกราฟโดยตรงที่แสดงในรูปที่ 6 เป็นการสะท้อนกลับ สมมาตรantisymmetric หรือสกรรมกริยาแก้ปัญหา: เนื่องจากมีการวนรอบในทุกจุดของกราฟโดยตรงของ R ได้สะท้อนกลับ R คือไม่สมมาตร หรือ antisymmetric เนื่องจากมีขอบจากแบบ b แต่ไม่หนึ่งจาก b ไปการ แต่มีขอบในทั้งสองทิศทางที่เชื่อมต่อ b และ c สุดท้าย R ไม่สกรรมเนื่องจากมีขอบจากแบบ b และขอบจาก b ถึง c แต่ไม่ขอบจากการถึง c

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แต่ละคู่เหล่านี้สอดคล้องกับขอบของกราฟกำกับด้วย (2, 2) และ (3, 3) ที่สอดคล้องกัน
เพื่อลูป.
▲
กราฟที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์ที่สามารถใช้ในการตรวจสอบว่ามีความสัมพันธ์
เราจะศึกษากำกับ
กราฟอย่างกว้างขวาง ใน
บทที่ 10
มีคุณสมบัติต่างๆ ยกตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์ที่เป็นสะท้อนและถ้าหากมีห่วงในทุก
จุดสุดยอดของกราฟกำกับเพื่อให้ทุกคู่ได้รับคำสั่งของรูปแบบ (x, x) ที่เกิดขึ้นในความสัมพันธ์.
ความสัมพันธ์เป็นสมมาตรและถ้าหากสำหรับ ขอบทุกจุดที่แตกต่างกันระหว่างในเดี่ยวที่
มีขอบในทิศทางที่ตรงข้ามเพื่อให้ (y, x) อยู่ในความสัมพันธ์เมื่อใดก็ตามที่ (x, y) เป็น
ในความสัมพันธ์ ในทำนองเดียวกันความสัมพันธ์เป็น antisymmetric ถ้าหากไม่เคยมีสองขอบ
ในทิศทางตรงข้ามจุดที่แตกต่างกันระหว่าง ในที่สุดความสัมพันธ์เป็นสกรรมกริยาถ้าหาก
เมื่อใดก็ตามที่มีขอบจากจุดสุดยอด x เพื่อจุดสุดยอด Y และขอบจากยอด Y เพื่อ
จุดสุดยอดซีมีขอบจาก x ถึง z (จบที่สามเหลี่ยมแต่ละด้าน เป็นขอบกำกับ
ที่มีทิศทางที่ถูกต้อง).
หมายเหตุ: โปรดทราบว่าความสัมพันธ์สมมาตรสามารถแสดงโดย undirected กราฟซึ่งเป็น
กราฟที่ขอบไม่ได้มี directions.We จะศึกษากราฟไม่มีทิศทางในบทที่ 10
ตัวอย่าง 10 ตรวจสอบว่า ความสัมพันธ์สำหรับกราฟกำกับการแสดงในรูปที่ 6 จะสะท้อนสมมาตร
antisymmetric และ / หรือส.
การแก้ไข: เนื่องจากมีลูปในทุกจุดสุดยอดของกราฟของ R มันเป็นสะท้อน R คือ
ไม่สมมาตรหรือ antisymmetric เพราะมีขอบจาก A ถึง B แต่ไม่จาก B ไป
แต่มีขอบทั้งสองทิศทางการเชื่อมต่อ B และ C สุดท้าย R จะไม่ transitive เพราะ
มีขอบจาก A ถึง B และจากขอบขค แต่ไม่มีขอบจากการค

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แต่ละคู่เหล่านี้สอดคล้องกับขอบของกราฟทิศทางด้วย ( 2 , 2 ) และ ( 3 , 3 ) เหมือนกัน


ไปลูป ▲กำกับกราฟที่แสดงความสัมพันธ์ที่สามารถใช้เพื่อตรวจสอบว่า ความสัมพันธ์
เราจะศึกษากำกับกราฟอย่างกว้างขวางในบทที่ 10

.
มีคุณสมบัติต่าง ๆ . สำหรับอินสแตนซ์ สะท้อนความสัมพันธ์ คือ ถ้า ถ้า ถ้า มีห่วงที่ทุกจุดยอดของกราฟทิศทาง
,เพื่อที่ทุกรูปแบบของคู่อันดับ ( x , x ) เกิดขึ้นในความสัมพันธ์ .
ความสัมพันธ์จะสมมาตรถ้าและเพียงถ้าทุก ๆขอบระหว่างจุดแตกต่างในไดกราฟ
มีขอบในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้น ( Y , X ) ในความสัมพันธ์เมื่อ ( x , y ) คือ
ในความสัมพันธ์ ในทํานองเดียวกัน ความสัมพันธ์เป็นปฏิสมมาตรถ้าและเพียงถ้าไม่เคยมีขอบ
2ในทิศทางตรงกันข้ามระหว่างจุดแตกต่าง . ในที่สุด ความสัมพันธ์เป็นสกรรมกริยา ถ้าและเพียงถ้า
เมื่อมีขอบจากจุดสุดยอด จุดสุดยอด X Y และขอบจากจุดสุดยอด จุดสุดยอดเป็น
y Z มีขอบจาก X Z ( จบสามเหลี่ยมที่แต่ละด้านโดยตรงขอบด้วยทิศทางที่ถูกต้อง

) หมายเหตุ : โปรดทราบว่าความสัมพันธ์สมมาตรสามารถแทนด้วยกราฟไม่ระบุทิศทาง ,ซึ่งเป็นกราฟที่
ขอบไม่มีทิศทาง เราจะศึกษากราฟ Undirected ในบทที่ 10
ตัวอย่าง 10 ตรวจสอบว่าสัมพันธ์กับกราฟที่แสดงในรูปที่ 6 สะท้อน
ปฏิสมมาตร , สมมาตร และ / หรือการแก้ไข : .
เพราะมีลูปที่ทุกจุดยอดของกราฟทิศทางของ R มันสะท้อน
r คือไม่สมมาตรหรือปฏิสมมาตรเนื่องจากมีขอบจาก A ไป B แต่ไม่หนึ่งจาก B

เป็น แต่มีขอบในทั้งสองทิศทางการเชื่อมต่อ B และ C และ R เป็นสกรรมกริยาเพราะ
มีขอบ จาก A ไป B และขอบจาก B เป็น C แต่ไม่มีขอบจาก A ไป C