In the last chapter we saw that the

In the last chapter we saw that the series 1 − 1⁄2 +
1⁄3 − 1⁄4 + ⋅⋅⋅ converges to ln 2.
It is tempting to ask what will happen if we take
the terms of this series in absolute value, that is, all
positive. We then get the harmonic series, the sum of
the reciprocals of the positive integers:
1
1
2
1
3
1
4
1
5
+ + + + +
The name “harmonic” comes from the fact that a
vibrating string produces not only one note but infinitely
many higher notes, whose frequencies are 1, 2,
3, 4, 5, . . . times the fundamental, or lowest, frequency.
It is one more example of the influence that
music, and musical terminology, has had on
mathematics.
Since the Middle Ages it was known that the harmonic
series diverges—its sum grows without bound
as we add more and more terms, despite the fact that
the terms themselves get smaller and smaller. But
you would never guess this from watching the sum
grow, because the rate of divergence is agonizingly
slow. Some numbers will make this clear: the sum of
the first thousand terms of the series is 7.485,
rounded to the nearest thousandth; the sum of the
first million terms is 14.357; the first billion terms,
about 21; the first trillion terms, about 28. But to
make the sum exceed, say, 100, we would have to
add up a staggering 1043 terms (that’s 1 followed by
43 zeros). To get an idea of just how large this number
is, suppose we were to write down the series,
term by term, on a long paper ribbon until its sum
surpasses 100, allocating 1 cm for each term (this is
actually an underestimate, since the terms will require
more and more digits as we go along). The ribbon
will then be 1043 cm long, which is about 1025
light-years. But the size of the observable universe is
at present estimated at only 1011 light-years, so our
ribbon would soon be running out of space to do
the job! Yet if we could sum up the entire series—all
its infinitely many terms—the sum would grow to
infinity.
The divergence of the harmonic series was first
proved by Nicole Oresme (ca. 1320–1382), a French
theologian, economist, and mathematician. His
proof is based on comparing the terms of the series
with a second series in which the third and fourth
terms are 1⁄4 + 1⁄4 instead of 1⁄3 + 1⁄4, the fifth, sixth, seventh,
and eighth terms are 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8 instead of
1⁄5 + 1⁄6 + 1⁄7 + 1⁄8, and so on. Since 1⁄3 + 1⁄4 > 1⁄4 + 1⁄4, 1⁄5 +
1⁄6 + 1⁄7 + 1⁄8 > 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8, etc., we have

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในบทสุดท้ายเราเห็นที่ชุด 1 − 1⁄2 +1⁄3 − 1⁄4 + ⋅⋅⋅ converges ln 2จึงดึงดูดการถามจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราใช้เงื่อนไขของชุดข้อมูลนี้ในค่าสัมบูรณ์ คือ ทั้งหมดค่าบวก เราได้รับชุด harmonic ผลรวมแล้วคือจำนวนเต็มบวก:112131415+ + + + +ชื่อ "harmonic" มาจากความจริงที่เป็นสตริงที่สั่นสะเทือนสร้างไม่เท่าหนึ่งทราบแต่เพียงบันทึกสูงมาก ความถี่ที่มี 1, 23, 4, 5,...เวลาความถี่พื้นฐาน หรือต่ำ สุดเป็นตัวอย่างอย่างหนึ่งของอิทธิพลที่เพลง และคำศัพท์เฉพาะทางดนตรี มีมีคณิตศาสตร์ตั้งแต่ยุคกลาง ถูกเรียกที่ harmonicชุด diverges — ผลรวมของขึ้นโดยไม่ถูกผูกไว้เมื่อเราเพิ่มมากขึ้น และเพิ่มเติมเงื่อนไข ทั้ง ๆ ที่เงื่อนไขตัวเองได้เล็กลง และเล็กลง แต่คุณไม่เคยเดานี้จากการดูผลรวมเติบโต เนื่องจากอัตราการ divergence agonizinglyช้า เลขจะให้นี้ชัดเจน: ผลรวมของคำพันแรกของชุดคือ 7.485ปัดเพื่อ thousandth ที่ใกล้ที่สุด ผลรวมของการแรก เงื่อนไขล้านเป็น 14.357 เงื่อนไขแรกพันล้านประมาณ 21 ทริลเลียนก่อนเงื่อนไข ประมาณ 28 แต่ถึงทำให้ผลรวมเกิน พูด 100 เราจะต้องเพิ่มค่าการส่ายเงื่อนไข 1043 (ซึ่ง 1 ตามด้วย43 ศูนย์) การเรียนรู้เพียงวิธีใหญ่หมายเลขนี้มี สมมติว่า จะเขียนลงชุดระยะ โดยระยะ บนริบบิ้นกระดาษยาวจนถึงผลรวมของสำหรับ 100, 1 cm ปันส่วนสำหรับแต่ละระยะ(จริง ๆ แล้วการดูถูกดูแคลน เนื่องจากจะต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม และเพิ่มเติมหลักเราไปตลอด) Ribbonจะเป็น 1043 ซม.ยาว ซึ่งเป็นประมาณ 1025light-years แต่ขนาดของเอกภพในปัจจุบันประมาณที่เฉพาะ 1011 light-years ดังนั้นเราเร็ว ๆ นี้จะใช้ริบบิ้นเนื้อที่ทำงาน แต่ ถ้าเราสามารถรวมชุดทั้งหมด — ทั้งหมดเงื่อนไขของเพียบหลาย — ผลรวมจะเติบโตอนันต์Divergence ของชุด harmonic เป็นครั้งแรกพิสูจน์ โดยนิโคล Oresme (ca. 1320-1382), ภาษาฝรั่งเศสนักบวช นักเศรษฐศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ ของเขาหลักฐานตามเงื่อนไขของชุดเปรียบเทียบมีชุดที่สองที่สามและสี่เงื่อนไขคือ 1⁄4 + 1⁄4 แทน 1⁄3 + 1⁄4 ห้า หก เจ็ดและเงื่อนไขที่แปด 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8 แทน1⁄5 + 1⁄6 + 1⁄7 + 1⁄8 และอื่น ๆ ตั้งแต่ 1⁄3 + 1⁄4 > 1⁄4 + 1⁄4, 1⁄5 +1⁄6 + 1⁄7 + 1⁄8 > 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8 + 1⁄8, etc. เรามี

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในบทที่ผ่านมาเราเห็นว่าซีรีส์ 1 - 1/2 +
1/3 - 1/4 + ⋅⋅⋅ลู่ไป LN 2.
เป็นที่ดึงดูดให้ขอให้สิ่งที่จะเกิดขึ้นถ้าเราใช้เวลา
แง่ของซีรีส์ในค่าสัมบูรณ์นี้ นั่นคือทั้งหมด
ที่เป็นบวก จากนั้นเราจะได้รับการประสานชุดผลรวมของ
ส่วนกลับของจำนวนเต็มบวก:
1
1
2
1
3
1
4
1
5
+ + + +
ชื่อ "ฮาร์โมนิ" มาจากความจริงที่ว่า
สตริงสั่นผลิตไม่เพียงหนึ่งทราบ แต่เพียบ
หลายบันทึกที่สูงขึ้นซึ่งเป็นความถี่ที่ 1, 2,
3, 4, 5, . . ครั้งพื้นฐานหรือต่ำสุดความถี่.
มันเป็นอีกหนึ่งตัวอย่างของอิทธิพลที่
เพลงและคำศัพท์ดนตรีได้มี
คณิตศาสตร์.
ตั้งแต่ยุคกลางมันเป็นที่รู้จักว่าฮาร์โมนิ
ซีรีส์ diverges-ของผลรวมเติบโตได้โดยไม่ต้องถูกผูกไว้
ในขณะที่เราเพิ่ม เงื่อนไขมากขึ้นแม้จะมีความจริงที่ว่า
ตัวเองจะได้รับเงื่อนไขที่มีขนาดเล็กและมีขนาดเล็ก แต่
คุณจะไม่เดานี้จากการดูผลรวม
เติบโตเพราะอัตราความแตกต่างคือ agonizingly
ช้า ตัวเลขบางอย่างจะทำให้เรื่องนี้ชัดเจน: ผลรวมของ
แรกพันแง่ของซีรีส์เป็น 7.485,
ปัดเศษให้เป็นพันที่ใกล้ที่สุด; ผลรวมของ
ล้านแรกแง่คือ 14.357; ครั้งแรกพันล้านคำ
ประมาณ 21; ครั้งแรกที่ล้านล้านแง่ประมาณ 28 แต่การที่จะ
ทำให้ผลรวมเกินการพูด, 100, เราจะต้อง
เพิ่มขึ้นส่าย 1,043 แง่ (ที่ 1 ตามด้วย
ศูนย์ 43) ที่จะได้รับความคิดของเพียงวิธีการที่มีขนาดใหญ่จำนวนนี้
คือสมมติว่าเราจะเขียนลงซีรีส์
ยาวโดยระยะบนกระดาษริบบิ้นยาวจนกว่าผลรวมของ
เกินกว่า 100 จัดสรร 1 ซม. สำหรับแต่ละคำ (นี้เป็น
จริงประมาทตั้งแต่ เงื่อนไขจะต้องมี
ตัวเลขมากขึ้นในขณะที่เราไปพร้อม) ริบบิ้น
แล้วจะเป็น 1,043 เซนติเมตรยาวประมาณ 1,025
ปีแสง แต่ขนาดของจักรวาลคือ
ในปัจจุบันเพียงประมาณ 1,011 ปีแสงดังนั้นเรา
ริบบิ้นเร็ว ๆ นี้จะได้รับการทำงานออกจากพื้นที่ที่จะทำ
งาน! แต่ถ้าเราสามารถสรุปทั้งชุดทั้งหมด
หลายอย่างมากมายของข้อตกลงผลรวมจะเติบโตถึง
อินฟินิตี้.
ความแตกต่างของซีรีส์ฮาร์โมนิเป็นครั้งแรกที่
ได้รับการพิสูจน์โดยนิโคล Oresme (แคลิฟอร์เนีย 1320-1382) ฝรั่งเศส
นักบวชนักเศรษฐศาสตร์และ นักคณิตศาสตร์ เขา
พิสูจน์อยู่บนพื้นฐานของการเปรียบเทียบเงื่อนไขของซีรีส์
ที่มีชุดที่สองที่สามและสี่
เงื่อนไข 1/4 + 1/4 แทน 1/3 + 1/4 ห้าหกเจ็ด
แปดและเงื่อนไข เป็น 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 แทน
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 และอื่น ๆ ตั้งแต่ 1/3 + 1/4> 1/4 + 1/4, 1/5 +
1/6 + 1/7 + 1/8> 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ฯลฯ . เรามี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในบทสุดท้ายที่เราเห็นชุด 1 − 1 ⁄ 2
1 ⁄ 3 − 1 ⁄ 4 ⋅⋅⋅เข้าสู่ 2
มันจะยั่วใจที่จะถามว่าอะไรจะเกิดขึ้น ถ้าเราใช้
เงื่อนไขของชุดนี้ค่า แน่นอนนั่นคือทั้งหมด
บวก จากนั้นเราได้รับชุดฮาร์มอนิ , ผลรวมของ
reciprocals ของจำนวนเต็มบวก :
1
1
2
1
3
1
4
1
5

ชื่อ " เสียงประสาน " มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า
เชือกสั่นผลิตไม่เพียงหนึ่งทราบแต่เพียบหลายบันทึกที่มีความถี่สูงกว่า
,
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . . . . . . เวลาพื้นฐาน หรือค่าความถี่ .
ก็เป็นอีกหนึ่งตัวอย่างของอิทธิพลที่
เพลงและคำศัพท์ทางดนตรี ได้

คณิตศาสตร์ ตั้งแต่ยุคกลาง มันเป็นที่รู้จักกันว่าชุดฮาร์มอนิก
diverges ของผลรวมเติบโตโดยไม่ผูกพัน
เราเพิ่มมากขึ้นและเงื่อนไขแม้จะมีความจริงที่ว่า
เงื่อนไขตัวเองให้เล็กลง เล็กลง แต่คุณไม่คิดว่านี้

ดูจากผลรวมเติบโต เนื่องจากความแตกต่างของอัตรากำลังก้าว
ช้า ตัวเลขบางอย่างจะทำให้มันชัดเจน : ผลรวมของ
พันเงื่อนไขแรกของชุด 7.485
ปัด , ใกล้ 1000 ; ผลรวมของ
ล้านเงื่อนไขแรกคือ 14.357 ; เงื่อนไขแรกพันล้าน
21 ;โดยเงื่อนไขแรกประมาณ 28 แต่

ทำให้ผลรวมเกิน พูด 100 เราจะต้อง
เพิ่มขึ้นส่าย 1043 เงื่อนไข ( ที่ 1 ตามด้วยเลขศูนย์
43 ) ที่จะได้รับความคิดของหมายเลขนี้
เป็นเพียงวิธีใหญ่ สมมติว่าเราเขียนชุด
ระยะโดยระยะบนริบบิ้นกระดาษยาวจนผลรวม
เกินกว่า 100 , จัดสรร 1 ซม. แต่ละระยะ ( นี่
ที่จริงเป็นความประมาทเนื่องจากเงื่อนไขจะต้องมีมากขึ้นและตัวเลข
เพิ่มเติมที่เราตามไป ) ริบบิ้น
แล้วจะยาวรวบเซนติเมตร ซึ่งประมาณ 1025
ปีแสง แต่ขนาดของเอกภพที่เราสังเกตการณ์อยู่
ปัจจุบันประมาณเพียงคุณปีแสง ดังนั้นริบบิ้นของเรา
จะเร็ว ๆนี้จะทำงานออกจากพื้นที่เพื่อทำ
งาน ! แต่ถ้าเราสามารถรวมชุดทั้งหมดของหลายแง่ผลรวมเหลือหลาย


จะเติบโตไม่มีที่สิ้นสุดความแตกต่างของชุดฮาร์มอนิกแรก
พิสูจน์โดยนิโคล oresme ( ประมาณ 940 ( 947 ) , ภาษาฝรั่งเศส
theologian , นักเศรษฐศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ หลักฐานของเขา
ใช้เปรียบเทียบเงื่อนไขของชุด
กับชุดที่สองที่สามและสี่
แง่ 1 ⁄ 4 1 ⁄ 4 แทน 1 ⁄ 3 1 ⁄ 4 , 5 , 6 , 7 และ 8 ⁄
เงื่อนไข 1 8 1 8 1 8 1 ⁄⁄⁄ 8 แทน
1 ⁄⁄ 5 1 6 1 7 1 ⁄⁄ 8 , และอื่น ๆ ตั้งแต่ 1 ⁄ 3 1 ⁄ 4 > 1 ⁄⁄ 4 1 4 1 ⁄ 5
1 ⁄ 6 1 ⁄ 7 1 ⁄ 8 > 1 ⁄ 8 1 ⁄ 8 1 ⁄ 8 1 ⁄ 8 , ฯลฯ เรามี