(3) cg(f¡1¡cg¡ig(F)¢¢) j f¡1(F) for

(3) cg(f¡1¡cg¡ig(F)¢¢) j f¡1(F) for every g-closed subset F in Y .
(4) cg(f¡1(cg¡cg()) j f¡1¡cg(B)¢for every subset B in Y .
(5) f¡1¡ig(B)¢j ig(f¡1(ig¡ig(B)¢¢)) for every subset B in Y .
(6) For every gr-open subset V in Y , f¡1(V ) is g-open.
(7) For every gr-closed subset F in Y , f¡1(F) is g-closed.
Proof. (1) ) (2). Let V be a g-open set in Y and x 2 f¡1(V ).
Thereexists a g-open set U of X containing x such that f(U) j ig¡cg(V )¢.
Thisimplies x 2 ig(f¡ig¡cg(¢¢). Hence f¡1(V ) j ig(f¡1¡ig¡cg(¢¢).(2) ) (3). Let F be a g-closed set in Y . From Theorem 2.1,
it followsf¡1(Y ¡ F) j ig(f¡1¡ig¡cg(Y ¡ F)¢¢)= ig(f¡1¡Y ¡ cg¡ig(¢¢) = X ¡ cg(f¡¡ig(F)¢¢):
Hence cg(f¡1¡cg¡ig(F)¢¢) j f¡1(F).
(3) ) (4). It is obvious.
(4) ) (5). It follows from Theorem 2.1.
(5) ) (6). Let V be any gr-open set of Y . Since ig(ig(¢) = from (5), it follows f¡1(V ) j ig¡f¡1(and so f¡1(V ) =f¡1(V )¢.
(6) ) (7). Let F be any gr-closed set of Y . Then by (6), we have

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(3) f¡1(F) เจ cg(f¡1¡cg¡ig(F)¢¢) สำหรับทุก g ปิดเซตย่อย F ใน Y(4) f¡1¡cg เจ cg(f¡1(cg¡cg()) (B) หมายเลขสำหรับแต่ละชุดย่อย B ใน Y(5) f¡1¡ig (B) หมายเลข j ig(f¡1(ig¡ig(B)¢¢)) สำหรับทุกชุดย่อย B ใน Y(6) สำหรับแต่ละย่อยเปิด gr V ใน Y, f¡1 (V) คือเปิด g(7) สำหรับทุกปิด gr ย่อย F ใน Y, f¡1(F) เป็น g ปิดหลักฐานการ (1) ) (2). ให้ V เป็นชุด g เปิด ใน Y และ x 2 f¡1 (V) Thereexists g-เปิดตั้ง U X x ที่มีดังกล่าวนั้น f(U) เจ ig¡cg (V) หมายเลข Ig(f¡ig¡cg(¢¢) Thisimplies x 2 ดังนั้น f¡1 ig(f¡1¡ig¡cg(¢¢) เจ (V) . ( 2)) (3) ให้ F เป็นชุด g ปิดใน Y จากทฤษฎีบท 2.1 มัน followsf¡1 (Y ¡ F) เจ ig (หมายเลขบัญชี f¡1¡ig¡cg (Y ¡ F)) = ig (f¡1¡Y ¡ cg¡ig(¢¢) X ¡ cg(f¡¡ig(F)¢¢) =:ดังนั้น cg(f¡1¡cg¡ig(F)¢¢) เจ f¡1(F)(3) ) (4). เป็นที่ชัดเจน(4) ) (5). มันดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท 2.1(5) ) (6). ให้ V เป็นชุด gr เปิดใด ๆ Y ตั้งแต่ ig(ig(¢) =จาก (5), เป็นไปตาม f¡1 (V) เจ ig¡f¡1 (และ f¡1 นั้น (V) = f¡1 (V) หมาย(6) ) (7). ให้สามารถตั้งค่าใด ๆ ปิด gr ของ Y F แล้ว ตาม (6), เราได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(3) การกำกับดูแลกิจการ (f¡1¡cg¡ig (F) ¢¢) jf¡1 (F) สำหรับทุกเซตกรัมปิด F ใน Y.
(4) การกำกับดูแลกิจการ (f¡1 (cg¡cg ()) JF ¡1¡cg (B) ¢ B สำหรับทุกคนในเซต Y.
(5) f¡1¡ig (B) ¢เจ ig (f¡1 (ig¡ig (B) ¢¢)) สำหรับทุกเซต B ใน Y .
(6) ทุกกรัมเปิด V ย่อยใน Y, f¡1 (V) คือเปิดกรัม.
(7) ทุก GR-F ปิดเซตใน Y, f¡1 (F) เป็นกรัมปิด.
หลักฐาน (1).) (2) ให้ V เป็นชุด G-เปิดใน Y และ x 2 f¡1 (V).
Thereexists ชุดกรัมเปิดยูเอ็กซ์ที่มี x ดังกล่าวว่า f (U) เจig¡cg (V) ¢.
Thisimplies x 2 ig (f¡ig¡cg (¢¢). ดังนั้นf¡1 (V) เจ ig (f¡1¡ig¡cg (¢¢). (2)) (3). ให้ F เป็นชุด G-ปิด Y. จากทฤษฎีบท 2.1
มันfollowsf¡1 (Y ¡ F) เจ ig (f¡1¡ig¡cg (Y ¡ F) ¢¢) = ig (f¡1¡Y¡cg¡ig (¢¢) = X ¡ CG (f¡¡ig (F)
¢¢). ดังนั้น CG (f¡1¡cg¡ig (F) ¢¢) jf¡1 (F)
(3).) (4) จะเห็นได้ชัด
(4)) (5) มันดังมาจากทฤษฎีบท 2.1.
(5)) (6) ให้ V ใด ๆ กรัมเปิดชุดของ Y ตั้งแต่ ig (ig (¢) = มาจาก (5) มันตามf¡1 (V) เจig¡f¡1 (และf¡1 (V) = f¡1 (V) ¢.
(6)) ( 7). ให้ F ใดกรัมปิดชุด Y. แล้วตามด้วย (6) เรามี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 3 ) CG ( F ¡ 1 ¡ CG ¡ IG ( F ) ¢¢ ) J F ¡ 1 ( F ) สำหรับทุก g-closed ย่อย F Y .
( 4 ) CG ( F ¡ 1 ( CG ¡ cg() ) J F ¡ 1 ¡ CG ( B ) ¢ทุกสับเซต B
y ( 5 ) F ¡ 1 ¡ IG ( B ) j ¢ IG ( F ¡ 1 ( IG ¡ IG ( B ) ¢¢ ) ) สำหรับทุกสับเซต B Y .
( 6 ) ทุก GR เปิดย่อย V Y , F ¡ 1 ( V ) g-open .
( 7 ) สำหรับทุกกรัม ปิดย่อย F Y , F ¡ 1 ( F ) เป็น g-closed .
พิสูจน์ ( 1 ) ( 2 ) ให้ V เป็น g-open ชุด y และ x 2 F ¡ 1 ( V )
thereexists เป็น g-open ชุด U ของ X ที่มี X เช่น F ( U ) J IG ¡ CG ( V ) ¢ .
thisimplies x 2 IG ( F ¡ IG ¡ CG ( ¢¢ ) ดังนั้น¡ 1 F ( V ) J ( F ¡อิก 1 ¡ IG ¡ CG ( ¢¢ ) ( 2 ) ( 3 ) ให้ f เป็น g-closed ชุด y จากทฤษฎีบท 2.1
มัน followsf ¡ 1 ( Y ¡ F ) J ( F ¡อิก 1 ¡ IG ¡ CG ( Y ¡ F ) ¢¢ ) = IG ( F ¡ 1 ¡ Y ¡ CG ¡ IG ( ¢¢ ) = x ¡ CG ( F ¡¡ IG ( F ) ¢¢ ) :
ดังนั้น CG ( F ¡ 1 ¡ CG ¡ IG ( F ) ¢¢ ) J F ¡ 1 ( F )
( 3 ) ( 4 ) มันเป็นที่ชัดเจน .
( 4 ) ( 5 ) มันดังจากทฤษฎีบท 2.1
( 5 ) ( 6 ) ให้ V เป็น GR เปิดชุดของ y ตั้งแต่ IG ( IG ( ¢ ) = ( 5 ) , มันคือ¡ 1 F ( V ) J IG ¡ F ¡ 1 ( และ¡ 1 F ( V ) = f ¡ 1 ( V ) ¢ .
( 6 ) ( 7 ) ให้ f เป็น GR ปิดชุดของ y แล้วโดย ( 6 ) เรามี