Abstract. A proper edge-coloring wi

Abstract. A proper edge-coloring with the property that every cycle contains edges of at least three
distinct colors is called an acyclic edge-coloring. The acyclic chromatic index of a graph G, denoted
χ 0a
ðGÞ, is the minimum k such that G admits an acyclic edge-coloring with k colors. We conjecture that if
G is planar and ΔðGÞ is large enough, then χ 0a
ðGÞ ¼ ΔðGÞ. We settle this conjecture for planar graphs with
girth at least 5. We also show that χ 0a
ðGÞ ≤ ΔðGÞ þ 12 for all planar G, which improves a previous result by
Fiedorowicz, Haluszczak, and Narayan [Inform. Process. Lett., 108 (2008), pp. 412–417].

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อ ขอบสีที่เหมาะสมกับคุณสมบัติที่ทุกวงจรประกอบด้วยขอบน้อยสามสีแตกต่างกันเรียกว่าเป็น acyclic ขอบสี ดัชนีสี acyclic ของกราฟ G ระบุΧ 0aðGÞ เป็น k ต่ำเช่นที่ G ยอมรับสีขอบที่ acyclic k สี เราคาดคะเนที่ถ้าG คือระนาบ และ ΔðGÞ มีขนาดใหญ่เพียงพอ 0a χแล้วðGÞ ¼ ΔðGÞ เราจ่ายข้อความคาดการณ์นี้สำหรับกราฟเชิงระนาบด้วยเส้นรอบวงน้อยกว่า 5 ปี เราแสดงที่ 0a χðGÞ ≤ ΔðGÞ þ 12 สำหรับทั้งระนาบ G ซึ่งช่วยปรับปรุงผลก่อนหน้าโดยFiedorowicz, Haluszczak และนารายัณ [แจ้ง กระบวนการ Lett. 108 (2008), pp. 412 – 417]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นามธรรม. ขอบ-สีที่เหมาะสมกับสถานที่ให้บริการทุกรอบมีขอบอย่างน้อยสาม
สีที่แตกต่างกันจะเรียกว่าวัฏจักรขอบสี ดัชนีวัฏจักรสีของกราฟ G ชี้แนะ
χ 0A
ðGÞเป็น K ขั้นต่ำดังกล่าวว่า G ยอมรับวัฏจักรขอบสีด้วยสี k เราคาดว่าถ้า
G เป็นระนาบและΔðGÞมีขนาดใหญ่เพียงพอแล้วχ 0A
ðGÞ¼ΔðGÞ เราชำระคาดเดานี้สำหรับกราฟระนาบกับ
เส้นรอบวงอย่างน้อย 5. นอกจากนี้เรายังแสดงให้เห็นว่าχ 0A
ðGÞ≤ΔðGÞที่ 12 สำหรับทุก G ระนาบซึ่งช่วยเพิ่มผลก่อน
Fiedorowicz, Haluszczak และ Narayan [แจ้ง กระบวนการ. Lett. 108 (2008), PP. 412-417]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นามธรรม ขอบสี ด้วยคุณสมบัติที่เหมาะสมในทุกรอบขอบอย่างน้อยสามคนประกอบด้วยสีชัดเจน เรียกว่ามีความเฉื่อยขอบสี ค่า chromatic ความเฉื่อยของกราฟ G แทนχ 0aðกรัมÞเป็นขั้นต่ำ K เช่น G ยอมรับมีความเฉื่อยขอบระบายสีกับ K สี เราเดาว่ากรัมเป็นระนาบÞΔðกรัมและมีขนาดใหญ่พอ แล้วχ 0aðกรัมÞ¼ΔðกรัมÞ . เราจัดการการคาดเดานี้กราฟระนาบ กับเส้นรอบวงอย่างน้อย 5 คน เราก็แสดงให้เห็นว่า χ 0aðกรัมÞ≤ΔðกรัมÞþ 12 ทุกระนาบกรัมซึ่งช่วยเพิ่มผลก่อนหน้านี้โดยfiedorowicz haluszczak , และ Narayan [ แจ้ง กระบวนการ หนังสือ , 108 ( 2008 ) , pp . 412 ( 417 )