Roughly speaking, a set is a collec

Roughly speaking, a set is a collection of objects. The objects are called the members or the elementsof the set.
Set theory is the basis for mathematics, and there are a number of axiom systems for set theory; von
Neumann-G¨odel-Bernays (NBG) and Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC) are the most well-known. I’m going
to take a somewhat informal approach to avoid unnecessary complexity.

Examples. You construct or define a set by saying what its elements are.
You can define a set by listing its elements between curly brackets:
{1, 2, 3, Calvin}.
The order of the elements in the list is irrelevant; thus,
{1, 2, 3, Calvin} is the same as {Calvin, 2, 1, 3}.
In fact, two sets are equal if and only if they have the same elements.
It’s understood when you list the elements of a set that no duplicates are allowed.
You can also define a set using set constructor notation. Here’s an example:
{n ∈ Z | n is a perfect square}.
The set constructor consists of two statements separated by a “|”, contained in curly brackets. The two
statements together give the properties which must be satisfied by an element of the set. (Thus, the “|”
functions like a logical “and”.) Usually, the first statement is more general than the second.
In this case, the set consists of all integers which are perfect squares. I could write this more explicitly
(but less precisely) as
{0, 1, 4, 9, . . .}.
(This is less precise because the “. . . ” assumes that it is clear what the pattern is.)
Here’s an example using two variables:
{(x, y) | x, y ∈ R and y = x
2
}.
This set consists of pairs of real numbers such that the second is the square of the first. (By the way,
the last sentence gives a verbal description of the set. It’s useful to say things in words when the symbols
get confusin.) Here are some elements of the set:
(−1, 1),(0, 0),(
√
3, 3),(1.1, 1.21), . . . .
In this case, I can’t list the elements of the set — when I discuss cardinality, I’ll explain why — and
thus, it’s particularly important to have a set constructor definition available.
You can also have sets whose elements are sets. For example,
{{1, 2}, {3, Calvin}, π}
is a set with three elements, two of which are sets with two elements.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พูดหยาบ ๆ ชุดเป็นชุดของวัตถุ วัตถุเรียกว่าสมาชิกหรือ elementsof ชุด ทฤษฎีเซตเป็นพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์ และมีหมายเลขของระบบสัจพจน์ของทฤษฎีเซต ฟอนNeumann G¨odel Bernays (NBG) และทางเลือก Fraenkel Zermelo (ZFC) เป็นรู้จักมากที่สุด ฉันกำลังไปใช้วิธีการค่อนข้างเป็นการหลีกเลี่ยงความซับซ้อนที่ไม่จำเป็นตัวอย่างการ คุณสร้าง หรือกำหนดชุด โดยบอกว่า องค์ประกอบใดบ้างคุณสามารถกำหนดชุด โดยแสดงรายการองค์ประกอบระหว่างวงเล็บหยัก:{1, 2, 3 คาลวิน}ลำดับขององค์ประกอบในรายที่มีความเกี่ยวข้อง ดังนั้น{1, 2, 3 คาลวิน} เหมือนกับ {คาลวิน 1, 2, 3 }ในความเป็นจริง สองชุดเท่ากันถ้าและเดียวถ้ามีองค์ประกอบเดียวกันจะได้เข้าใจเมื่อคุณแสดงรายการองค์ประกอบของชุดที่ไม่ซ้ำกันได้นอกจากนี้คุณยังสามารถกำหนดใช้สัญลักษณ์ตัวสร้างชุดชุด ตัวอย่าง:{ n ∈ Z | n เป็นสี่เหลี่ยมเหมาะ}ตัวสร้างการตั้งค่าประกอบด้วยสองคำคั่นด้วยความ " | ", อยู่ในวงเล็บหยัก ทั้งสองงบกันให้คุณสมบัติที่ต้องพอใจ ด้วยองค์ประกอบของชุด (ดังนั้น " | "ฟังก์ชันต้องเป็นตรรกะ "และ") ปกติ คำสั่งแรกจะเติมมากกว่าสองในกรณีนี้ ชุดประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ฉันสามารถเขียนนี้อย่างชัดเจนขึ้น(แต่แม่นยำน้อย) เป็น{0, 1, 4, 9, . . .}.(นี่คือแม่นยำน้อยเนื่องจากการ "... "สันนิษฐานว่า เป็นที่ชัดเจนว่ารูปแบบคืออะไร)Here’s an example using two variables:{(x, y) | x, y ∈ R and y = x2}.This set consists of pairs of real numbers such that the second is the square of the first. (By the way,the last sentence gives a verbal description of the set. It’s useful to say things in words when the symbolsget confusin.) Here are some elements of the set:(−1, 1),(0, 0),(√3, 3),(1.1, 1.21), . . . .In this case, I can’t list the elements of the set — when I discuss cardinality, I’ll explain why — andthus, it’s particularly important to have a set constructor definition available.You can also have sets whose elements are sets. For example,{{1, 2}, {3, Calvin}, π}is a set with three elements, two of which are sets with two elements.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พูดประมาณชุดคือชุดของวัตถุ วัตถุที่เรียกว่าสมาชิกหรือ elementsof ชุด.
ทฤษฎีตั้งเป็นพื้นฐานสำหรับการคณิตศาสตร์และมีจำนวนของระบบความจริงสำหรับการตั้งทฤษฎี; ฟอนนอยมันน์-Gödel-Bernays (NBG) และ Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC) เป็นส่วนใหญ่ที่รู้จักกันดี ผมจะใช้วิธีการที่ค่อนข้างเป็นทางการเพื่อหลีกเลี่ยงความซับซ้อนที่ไม่จำเป็น. ตัวอย่าง . คุณสร้างหรือกำหนดที่ตั้งไว้โดยกล่าวว่าสิ่งที่เป็นองค์ประกอบของคุณสามารถกำหนดชุดโดยรายชื่อองค์ประกอบระหว่างวงเล็บปีกกา:. {1, 2, 3, คาลวิน} ลำดับขององค์ประกอบในรายการที่ไม่เกี่ยวข้อง; จึง{1, 2, 3, คาลวิน} เป็นเช่นเดียวกับ {คาลวิน, 2, 1, 3}. ในความเป็นจริงสองชุดมีค่าเท่ากันและถ้าหากพวกเขามีองค์ประกอบเดียวกัน. ก็เข้าใจเมื่อคุณรายการองค์ประกอบของ ชุดที่ไม่ซ้ำกันจะได้รับอนุญาต. นอกจากนี้คุณยังสามารถกำหนดชุดการตั้งค่าการใช้สัญกรณ์คอนสตรัค นี่คือตัวอย่าง: {n ∈ Z | n เป็นตารางที่สมบูรณ์}. คอนสตรัคชุดประกอบด้วยสองงบคั่นด้วย "|" ที่มีอยู่ในวงเล็บปีกกา ทั้งสองงบร่วมกันให้ทรัพย์สินที่จะต้องมีความพอใจโดยองค์ประกอบของชุดที่ (ดังนั้น "|". การทำงานเช่นตรรกะ "และ") โดยปกติแล้วคำสั่งแรกเป็นทั่วไปมากขึ้นกว่าสอง. ในกรณีนี้ชุดประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ ฉันจะเขียนนี้อย่างชัดเจนมากขึ้น(แต่ไม่ได้อย่างแม่นยำ) เช่น{0, 1, 4, 9, . ..} (นี่คือความแม่นยำน้อยลงเพราะถือว่ามันเป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งที่รูปแบบคือ "....") นี่คือตัวอย่างการใช้สองตัวแปร: {(x, y) | x, y ∈ R และ y = x 2}. ชุดนี้ประกอบด้วยคู่ของตัวเลขจริงเช่นนั้นที่สองคือตารางแรก (โดยวิธีการที่ประโยคสุดท้ายให้คำอธิบายด้วยวาจาของชุดมันมีประโยชน์ที่จะพูดสิ่งที่อยู่ในคำพูดเมื่อสัญลักษณ์. ได้รับ confusin.) องค์ประกอบที่นี่เป็นของชุด: (-1, 1), (0, 0) (√ 3, 3), (1.1 1.21) . . . ในกรณีนี้ผมไม่สามารถแสดงรายการองค์ประกอบของชุด - เมื่อฉันหารือ cardinality ผมจะอธิบายว่าทำไม - และดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะมีการนิยามตัวสร้างชุดที่มีอยู่. นอกจากนี้คุณยังสามารถมีชุดที่มีองค์ประกอบเป็นชุด . ยกตัวอย่างเช่น{{1, 2}, {3, คาลวิน}} πคือชุดที่มีสามองค์ประกอบสองซึ่งเป็นชุดที่มีสององค์ประกอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ประมาณพูด ชุด เป็นชุดของวัตถุ วัตถุจะเรียกว่าสมาชิกหรือ elementsof ชุด .
ตั้งทฤษฎีเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ และมีหมายเลขของระบบสัจพจน์สำหรับทฤษฎีเซต ; ฟอน
neumann-g Bernays ตั้งโอเดล ( nbg ) และเซอร์เมโลเฟริงเคิลทางเลือก ( ZFC ) เป็นที่รู้จักกันดีที่สุด ผมจะใช้วิธีการที่ค่อนข้างเป็นทางการ


เพื่อหลีกเลี่ยงความซับซ้อนโดยไม่จำเป็น ตัวอย่างคุณสามารถสร้างหรือกำหนดชุดโดยบอกว่าสิ่งที่องค์ประกอบของมัน .
คุณสามารถกำหนดชุดของรายการขององค์ประกอบระหว่างวงเล็บ :
{ 1 , 2 , 3 , Calvin } .
ใบสั่งขององค์ประกอบในรายการมีความเกี่ยวข้อง ดังนั้น
{ 1 , 2 , 3 , Calvin } คือ เหมือน { : 2 , 1 , 3 } .
ในความเป็นจริง สองชุดเท่ากันถ้าและเพียงถ้าพวกเขามีองค์ประกอบเดียวกัน
มันเข้าใจ เมื่อคุณมีรายชื่อองค์ประกอบของชุดที่ไม่ซ้ำจะได้รับอนุญาต .
คุณสามารถกำหนดชุดการตั้งค่าสัญกรณ์ก่อสร้าง นี่คือตัวอย่าง :
{ n ∈ Z | N เป็นกำลังสองสมบูรณ์ } .
ชุดผู้สร้างประกอบด้วยสองงบคั่นด้วย " | " ที่อยู่ในวงเล็บหยิก 2
งบด้วยกันให้คุณสมบัติซึ่งจะต้องพอใจ โดยองค์ประกอบของชุด ( ดังนั้น" | "
เหมือนตรรกะ " และ " ) โดยปกติข้อความแรกเป็นทั่วไปมากขึ้นกว่าสอง .
ในกรณีนี้ประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดที่เป็นสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ ฉันสามารถเขียนเพิ่มเติมอย่างชัดเจน
( แต่น้อยกว่าแน่นอน )
{ 0 , 1 , 4 , 9 , . . . . . . . . } .
( นี้มีความแม่นยำน้อยลง เพราะ " . . . . . . . " สันนิษฐานว่า เป็นที่ชัดเจนว่ารูปแบบเป็น )
นี่คือตัวอย่างการใช้สองตัวแปร :
{ ( X| Y ) X , Y ∈ r และ y = x
2
} .
ชุดนี้ประกอบด้วยคู่ของตัวเลขจริงที่ที่สอง คือ ตารางของก่อน ( โดยวิธี
ประโยคสุดท้ายให้คำอธิบายด้วยวาจาของชุด มันมีประโยชน์ที่จะพูดในสิ่งที่พูดเมื่อสัญลักษณ์
ได้รับสับสน ) ที่นี่มีบางองค์ประกอบของชุด :
( − 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) , (
√
3 , 3 ) , ( 1.1 , 1.21 ) . . . . . . . .
ในกรณีนี้ฉันไม่สามารถรายการองค์ประกอบของชุด - เมื่อฉันกล่าวถึงภาวะเชิงการนับ ผมจะอธิบายว่าทำไม -
ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะมีชุดผู้สร้างนิยามของ .
คุณสามารถมีชุด ที่มีองค์ประกอบเป็นชุด ตัวอย่างเช่น
{ { 1 , 2 } { 3 } }
πคาลวิน , เป็นชุดสามองค์ประกอบของทั้งสองซึ่งเป็นชุดกับสององค์ประกอบ