Set out any straight line AB, and c

Set out any straight line AB, and cut it at the point C so that the rectangle AB by BC equals the square on CA. Describe the circle BDE with center A and radius AB. Fit in the circle BDE the straight line BD equal to the straight line AC which is not greater than the diameter of the circle BDE.
IV.5
Join AD and DC, and circumscribe the circle ACD about the triangle ACD.

Then, since the rectangle AB by BC equals the square on AC, and AC equals BD, therefore the rectangle AB by BC equals the square on BD.
III.37
And, since a point B was taken outside the circle ACD, and from B the two straight lines BA and BD fall on the circle ACD, and one of them cuts it while the other falls on it, and the rectangle AB by BC equals the square on BD, therefore BD touches the circle ACD.
III.32
Since, then, BD touches it, and DC is drawn across from the point of contact at D, therefore the angle BDC equals the angle DAC in the alternate segment of the circle.
Since, then, the angle BDC equals the angle DAC, add the angle CDA to each, therefore the whole angle BDA equals the sum of the two angles CDA and DAC.
I.32
But the exterior angle BCD equals the sum of the angles CDA and DAC, therefore the angle BDA also equals the angle BCD.
I.5
But the angle BDA equals the angle CBD, since the side AD also equals AB, so that the angle DBA also equals the angle BCD.
Therefore the three angles BDA, DBA, and BCD equal one another.
I.6
And, since the angle DBC equals the angle BCD, the side BD also equals the side DC.
I.5
But BD equals CA by hypothesis, therefore CA also equals CD, so that the angle CDA also equals the angle DAC. Therefore the sum of the angles CDA and DAC is double the angle DAC.
And the angle BCD equals the sum of the angles CDA and DAC, therefore the angle BCD is also double the angle CAD.
But the angle BCD equals each of the angles BDA and DBA, therefore each of the angles BDA and DBA is also double the angle DAB.
Therefore the isosceles triangle ABD has been constructed having each of the angles at the base DB double the remaining one.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ออกใดเส้นตรงขและตัดมันที่จุดคเพื่อให้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขโดย bc เท่ากับตารางในแคลิฟอร์เนีย อธิบาย bde วงกลมกับศูนย์และรัศมีข พอดีกับวงกลม bde bd เส้นตรงเท่ากับแดเส้นตรงที่ไม่สูงกว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม bde.

เข้าร่วม iv.5 โฆษณาและ dc และวง ACD วงกลมเกี่ยวกับ ACD สามเหลี่ยม.

แล้ว ,ตั้งแต่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยข bc เท่ากับตารางใน AC และ AC เท่ากับ bd จึงสี่เหลี่ยมผืนผ้าขโดย bc เท่ากับสี่เหลี่ยมบน bd.

iii.37 และเนื่องจากจุดขถูกนำตัวออกไปข้างนอก ACD วงกลมและจากข ba สองเส้นตรงและ bd ตกอยู่ใน ACD วงกลมและหนึ่งของพวกเขาตัดมันในขณะที่น้ำตกอื่น ๆ ในนั้นและสี่เหลี่ยมผืนผ้าขโดย bc เท่ากับตารางที่ bd,จึง bd สัมผัส ACD วงกลม.

ตั้งแต่ iii.32 แล้ว bd สัมผัสมันและ dc ถูกดึงข้ามจากจุดของการติดต่อที่ดีจึง BDC มุมเท่ากับมุม DAC ในส่วนอื่นของวงกลม.
ตั้งแต่นั้นมา BDC มุมเท่ากับมุม DAC เพิ่ม CDA มุมกันจึง bda มุมทั้งหมดเท่ากับผลรวมของ CDA สองมุมและ DAC.

i.32แต่ BCD มุมภายนอกเท่ากับผลรวมของ CDA มุมและ DAC จึง bda ยังมุมเท่ากับมุม BCD.

แต่ i.5 bda มุมเท่ากับมุม CBD เนื่องจากโฆษณาด้านข้างยังเท่ากับเป็นขเพื่อที่ว่า DBA มุมยังเท่ากับมุม BCD.
สามมุมจึง bda, DBA และ BCD เท่ากับคนอื่น.

i.6 และตั้งแต่ dbc มุมเท่ากับ BCD มุม bd ด้านยังเท่ากับ dc ด้าน.
i.5
แต่ bd เท่ากับแคลิฟอร์เนียโดยสมมติฐานจึงยัง ca เท่ากับซีดีเพื่อให้มุม CDA ยังเท่ากับ DAC มุม ดังนั้นผลรวมของมุม CDA และ DAC DAC เป็นสองมุม.
และ BCD มุมเท่ากับผลรวมของ CDA มุมและ DAC จึง BCD มุมยังเป็นสองเท่าถ่อยมุม.
แต่ BCD มุมเท่ากับแต่ละ bda มุมและ DBA,ดังนั้นแต่ละ bda มุม DBA และยังเป็นที่สองมุมตบเบา ๆ .
จึงสามเหลี่ยมหน้าจั่วอับดุลได้รับการสร้างขึ้นมีแต่ละมุมที่ฐานฐานข้อมูลสองส่วนที่เหลืออีกหนึ่ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กำหนดเส้นตรง AB และตัดที่จุด C เพื่อให้สี่เหลี่ยม AB โดย BC เท่ากับสแควร์ใน CA การ Describe ยอมกับศูนย์ A และรัศมีพอดี AB. ในวงยอมวงกลมเส้นตรง BD เท่ากับเส้นตรง AC ซึ่งไม่มากกว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมมี BDE .
IV.5
รวม AD DC และและ circumscribe กลม ACD เกี่ยวกับสามเหลี่ยม ACD

แล้ว เนื่องจากกรอบการ AB โดย BC เท่ากับจัตุรัสบน AC และ AC เท่ากับ BD ดังนั้น สี่เหลี่ยม AB โดย BC เท่ากับจัตุรัสบน bd.
III.37
และ ตั้งแต่ B จุดถูกนำอยู่นอกวงกลม ACD จาก B สองเส้นตรง BA และ BD อยู่บนวงกลม ACD และหนึ่งของพวกเขาตัดมันในขณะที่อื่น ๆ ที่อยู่บนและสี่เหลี่ยม AB โดย BC เท่ากับจัตุรัสบน BD ดังนั้น BD สัมผัสวงกลม ACD
III.32
ตั้งแต่ แล้ว BD สัมผัส และ DC ออกฝั่งตรงข้ามจุดติดต่อที่ดี ดังนั้น มุม BDC เท่ากับมุม DAC ในเซ็กเมนต์อื่นของวง
ตั้งแต่ แล้ว มุม BDC เท่ามุม DAC เพิ่มมุม CDA ไป ดังนั้น มุมทั้ง BDA เท่ากับผลรวมของมุมสอง CDA และ DAC
I. 32
แต่นอกมุม BCD เท่ากับผลรวมของมุม CDA และ DAC ดังนั้น มุม BDA ยังเท่ามุม BCD
I. 5
แต่ BDA มุมเท่ากับมุม CBD ตั้งแต่เท่าด้าน AD ยังกับ AB เพื่อให้มุมรวมยังเท่ากับมุม BCD
ดังนั้น มุมสาม BDA, DBA และ BCD เท่ากัน
I. 6
และตั้งแต่มุม DBC เท่ากับมุม BCD ด้าน BD ด้าน DC ยังเท่ากับ
I.5
But BD เท่ากับ CA โดยสมมติฐาน ดังนั้น CA ยังเท่า CD เพื่อให้มุม CDA ยังเท่ากับมุม DAC ดังนั้น ผลรวมของมุม CDA และ DAC เป็นคู่มุม DAC
และมุม BCD เท่ากับผลรวมของมุม CDA และ DAC ดังนั้น มุม BCD ยังเป็นสองมุม CAD
แต่มุม BCD เท่ากับแต่ละมุม BDA และ DBA ดังนั้น แต่ละมุม BDA และ DBA เป็นคู่มุมเล็กน้อย
ดังนั้น สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABD มีการสร้างมีแต่ละมุมที่ DB ฐานคู่หนึ่งเหลือ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งค่าออกมาตรงๆ AB และตัดเป็นที่ตำแหน่ง C เพื่อที่ AB รูปสี่เหลี่ยมโดย BC เท่ากับพื้นที่ที่ไม่ อธิบายถึงวงกลมที่ BDE ปิดหน้าต่างขยายด้วย AB รัศมีและศูนย์กลาง ในวงกลม BDE ปิดหน้าต่างขยายโดยตรงสาย BD เท่ากับที่ตรงสาย AC ซึ่งไม่มากกว่าที่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม CSH LCS .
IV 5
เข้าร่วมเครือข่ายและ DC และเขียนวงกลมรอบ(รูปสามเหลี่ยม)ที่เป็นวงกลม ACD เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม ACD .

แล้วนับตั้งแต่ที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AB โดย BC เท่ากับขนาดพื้นที่ที่ใช้ไฟ AC ,และ AC เท่ากับ BD ,ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AB โดย BC เท่ากับที่ Square บน BD .

และเสนอขาย 37 ,หลังจากที่จุด b เป็นไปทางด้านนอกที่เป็นวงกลม ACD และจากที่สองตรงสาย Ba และ BD ลดลงในวงกลม ACD และคนหนึ่งได้ในระหว่างที่ทำการตัดอื่นๆอยู่ในนั้นและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AB โดย BC เท่ากับที่บน BD ,ดังนั้น BD สัมผัสกับวงกลม ACD .

นับตั้งแต่" 32 แล้ว, BD สัมผัสและ DC คือมาทางฝั่งด้านตรงข้ามจากจุดนัดพบของผู้ติดต่อที่ D ,ดังนั้นมุมตลาดตราสารหนี้ซึ่งเท่ากับที่มุม DAC ในที่อื่นส่วนของวงกลม.
ตั้งแต่,แล้ว,มุมตลาดตราสารหนี้ซึ่งเท่ากับที่มุม DAC ,เพิ่มมุมถือเป็น CDA ในแต่ละ,ดังนั้นทั้งมุม BDA เท่ากับจำนวนเงินของสองมุมถือเป็น CDA และ DAC .

I 32แต่ทางด้านนอกทำมุม BCD เท่ากับจำนวนเงินของมุมถือเป็น CDA และ DAC ,ดังนั้นมุม BDA ยังเท่ากับมุม BCD .

I . 5 แต่มุม BDA เท่ากับมุมเขตพื้นที่ทางตั้งแต่ที่ด้านข้างโฆษณายังเท่ากับ AB จึงทำให้ ภาพ มุมกว้าง dBA ยังเท่ากับมุม BCD .
ดังนั้นที่สามมุม BDA , dBA ,และ BCD เท่ากับหนึ่ง.

และ i 6 ตั้งแต่ที่มุม dBc เท่ากับมุม BCD ,ด้านข้าง BD ยังเท่ากับที่ด้านข้าง DC .
I . 5
แต่เท่ากับ BD CA โดยข้อสมมุติฐานดังนั้นจึงยังไม่เท่ากับแผ่นซีดีเพื่อที่ถือเป็น CDA มุมที่ยังเท่ากับ ภาพ มุมกว้าง DAC ตรวจสอบ ดังนั้นจึงให้ผลรวมของที่มุมถือเป็น CDA และชิพประมวลผลเป็นสองเท่าที่มุม DAC .
และมุม BCD เท่ากับที่จำนวนเงินของมุมถือเป็น CDA และชิพประมวลผล,ดังนั้นมุม BCD ยังเป็นแบบเตียงนอนเดี่ยวขนาดใหญ่หนึ่งเตียงที่มุม CAD .
แต่มุม BCD เท่ากับแต่ละมุม BDA และ dBA ,ดังนั้นมุมที่ BDA และ dBA ยังมีมุมให้ดับเบิลคลิกดินลูกรังอยู่ปะปนกับหินชนิดต่างๆซับ.
ดังนั้นสามเหลี่ยนหน้าจั่วที่แต่ละห้องได้รับการก่อสร้างมีมุมที่ฐาน dB แต่ละคู่หนึ่งที่เหลืออยู่