Regularity of Semigroups of Multiho

Regularity of Semigroups of Multihomomorphisms of (Zn,+)
W. Teparos and Y. Kemprasit
Abstract : An element a of a semigroup S is called regular if a = aba for some b ∈ S, and S is called a regular semigroup if every element of S is regular. For a group G, denote by MHom(G) the semigroup, under composition, of all multi- homomorphisms of G into itself. It is known that the elements of MHom(Zn,+) are precisely Ik,a where k,a ∈ Z and Ik,a(x) = ax + kZn for all x ∈ Z, and |MHom(Zn,+)| = X k|n k. Our purpose is to show that for k,a ∈ Z, Ik,a is a regular
element of the semigroup MHom(Zn,+) if and only if a and
(n,k) (n,k,a)
are relatively prime, and MHom(Zn,+) is a regular semigroup if and only if n is square-free.
Keywords : Multihomomorphism, regular semigroup 2000 Mathematics Subject Classification : 32A12, 20M17
1 Introduction
The cardinality of a set X is denoted by |X|. By a multifunction from a nonempty set X into a nonempty set Y , we mean a function f : X → P∗(Y ) where P(Y ) is the power set of Y and P∗(Y ) = P(Y ){∅}. For A ⊆ X, let f(A) = [ a∈A f(a). Continuity of multifunctions between two topological spaces were studied by Whyburn [6], Smithson [4] and Feichtinger [2]. Multihomomorphisms between groups were defined naturally in [5] as follows: A multifunction f from a group G into a group G0 is called a multihomomorphism if f(xy) = f(x)f(y)(= { st | s ∈ f(x) and t ∈ f(y) }) for all x,y ∈ G. Denote by MHom(G,G0) the set of all multi- homomorphisms from G into G0, and write MHom(G) for MHom(G,G). Clearly, MHom(G) is a semigroup under composition. For cyclic groups G and G0, the elements of MHom(G,G0) were characterized and |MHom(G,G0)| was determined in [5] and moreover, necessary and sufficient conditions for f ∈ MHom(G,G0) to be surjective, that is, [ x∈G f(x) = G0, were given in [3]. In [1], the authers provided remarkable necessary conditions for f
26 Thai J. Math.(Special Issue, 2006)/ W. Teparos and Y. Kemprasit
belonging to MHom(G,G0) when G0 is a subgroup of the additive group (R,+) and a subgroup of the multiplicative group (R∗,·) where R is the set of real numbers and R∗ = R{0}. Let Z be the set of integers, Z+ = {x ∈ Z|x > 0} and for n ∈ Z+, let (Zn,+) be the additive group of integers modulo n. The congruence class modulo n of x will be denoted by x. Then Zn = { x | x ∈ Z } = {0,1,...,n − 1} and |Zn| = n. For a1,a2,...,am ∈ Z, not all 0, the g.c.d. of a1,a2,...,am is denoted by (a1,a2,...,am). It is clearly seen that kZn = (k,n)Zn for all k ∈ Z and kZn + lZn = (k,l)Zn for all k,l ∈ Z, not both 0. If k,a ∈ Z, define the multifunction Ik,a from Zn into itself by
Ik,a(x) = ax + kZn for all x ∈ Z.
The following results are known.
Theorem 1.1. ([5]) MHom(Zn,+) = {Ik,a|k,a ∈ Z}.
Theorem 1.2. ([5]) The following statements hold. (i) If k,l ∈ Z+, k|n, l|n, a ∈ {0,1,...,k − 1}, b ∈ {0,1,...,l − 1} and Ik,a = Il,b, then k = l and a = b. (ii) MHom(Zn,+) = { Ik,a | k ∈ Z+,k|n and a ∈ {0,1,...,k − 1}}. (iii) |MHom(Zn,+)| = X k∈Z+ k|n k.
Note that in Theorem 1.2, (iii) is directly obtained from (i) and (ii). An element a of a semigroup S is called regular if a = aba for some b ∈ S. Denote by Reg(S) the set of all regular elements of S. If every element of S is regular, that is , Reg(S) = S, S is called a regular semigroup. Our purpose is to show that for k,a ∈ Z, Ik,a is a regular element of MHom(Zn,+) if and only if a and (n,k) (n,k,a) are relatively prime, and MHom(Zn,+) is a regular semigroup if and only if n is square-free. Recall that n is called square-free if for every a ∈ Z with a > 1, a2 - n. Hence n is square-free if and only if either n = 1 or n is a product of distinct primes.
2 The Regularity of MHom(Zn,+)
Throughout this section, let n be a positive integer. The following three lemmas are needed.
Lemma 2.1. If r,s,t ∈ Z, r 6= 0 and t 6= 0 are such that r | (s,
t (s,t)
), then r2 | t.
Proof. From the asumption, r | s and r|
t (s,t)
. Then r(s,t)|t. Hence r|s and r|t which implies that r|(s,t), and thus r2|r(s,t). But r(s,t)|t, so r2|t.
Regularity of Semigroups of Multihomomorphisms of (Zn,+) 27
Lemma 2.2. For k,l,a,b ∈ Z,
Ik,aIl,b =
( I(k,al),ab if k 6= 0, Ial,ab if k = 0.
Proof. For x ∈ Z,
Ik,aIl,b(x) = Ik,a(bx + lZn) = a(bx + lZn) + kZn = abx + alZn + kZn
=
(
abx + (k,al)Zn = I(k,al),ab(x) if k 6= 0, abx + alZn = Ial,ab(x) if k = 0,
so the lemma is proved.
Lemma 2.3. If k,l,a,b ∈ Z are such that Ik,a = Il,b, then kZn = lZn and (n,k)|(a − b).
Proof. We have that kZn = Ik,a(0) = Il,b(0) = lZn. Then Ik,a = Ik,b, so a+kZn = Ik,a(1) = Ik,b(1) = b + kZn. Hence a − b = kt for some t ∈ Z, thus n|(a − b − kt). Since (n,k)|n and (n,k)|kt, it follows that (n,k)|(a − b).
Theorem 2.4. For k,a ∈ Z, Ik,a is a regular element of the semigroup MHom(Zn,+) if and only if a and (n,k) (n,k,a) are relatively prime.
Proof. First, assume that Ik,a is a regular element of MHom(Zn,+). Then there are l,b ∈ Z such that Ik,a = Ik,aIl,bIk,a. By Lemma 2.2, Ik,aIl,bIk,a = Is,a2b for some s ∈ Z, and so by Lemma 2.3, (n,k)|(a2b − a). This implies that (n,k) (n,k,a) | a (n,k,a) (ab − 1). But (n,k) (n,k,a) and a (n,k,a) are relatively prime, thus (n,k) (n,k,a) |(ab − 1). Therefore ab + (n,k) (n,k,a) t = 1 for some t ∈ Z. Consequently, a and (nk) (n,k,a) are relatively prime. Conversely, assume that a and (n,k) (n,k,a) are relatively prime. Then there are b,c ∈ Z such that ab + (n,k) (n,k,a) c = 1. It follows that (a2b − a)x = (ab − 1)ax = µ (n,k) (n,k,a) cax ¶ = (n,k) µ a (n,k,a) cx ¶ ∈ (n,k)Zn = kZn for every x ∈ Z. Conse- quently, a2bx + kZn = ax + kZn for every x ∈ Z. By Lemma 2.2,
Ik,aIk,bIk,a =
(
I(k,a(k,bk)),a2b = Ik,a2b if k 6= 0, I0,a2b = Ik,a2b if k = 0.
28 Thai J. Math.(Special Issue, 2006)/ W. Teparos and Y. Kemprasit
Thus for every x ∈ Z, Ik,aIk,bIk,a(x) = a2bx + kZn = ax + kZn = Ik,a(x), so Ik,aIk,bIk,a = Ik,a. Hence Ik,a is a regular element of MHom(Zn,+), as desired.
Corollary 2.5. Let QF be the set of all square-free positive integers. Then the following statements hold.
(i) Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik,a | k ∈ Z+,k|n,a ∈ {0,1,...,k − 1} and (a, k (k,a)
) = 1}
= { Ik,a | k ∈ QF,k|n and a ∈ {0,1,...,k − 1}} ∪ { Ik,a | k ∈ Z+QF,k|n,a ∈ {0,1,...,k − 1} and (a, k (k,a)
) = 1}
(ii) |Reg(MHom(Zn,+))|
=
X
k∈QF k|n
k +
X
k∈Z+QF k|n
|{a ∈ {0,1,...,k − 1} | (a,
k (k,a)
) = 1}|
Proof. (i) The first equality follows from Theorem 1.2(ii) and Theorem 2.4 and the second equality is obtained from Lemma 2.1. (ii) is obtained from (i) and Theorem 1.2(i).
Theorem 2.6. The semigroup MHom(Zn,+) is regular if and only if n is square- free.
Proof. From Theorem 1.1 and Theorem 2.4, we have respectively that
MHom(Zn,+) = { Ik,a | k,a ∈ Z}
and
Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik,a | k,a ∈ Z and (a,
(n,k) (n,k,a)
) = 1}
First, assume that n is not square-free. Then there exists an integer r > 1 such that r2|n. Then (r, (n,n) (n,n,r) ) = (r, n r ) = r > 1 which implies that In,r ∈ MHom(Zn,+)Reg(MHom(Zn,+)). This proves that if MHom(Zn,+) is a regular semigroup, then n is square-free. For the converse, assume that n is square-free. Then k is square-free for every k ∈ Z+ with k|n. Therefore we deduce from Corollary 2.5 (i) that
Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik,a | k ∈ Z+,k|n and a ∈ {0,1,...,k − 1}}.
By Theorem 1.2(ii), we have Reg(MHom(Zn,+)) = MHom(Zn,+). Hence MHom(Zn,+) is a regular semigroup.
Regularity of Semigroups of Multihomomorphisms of (Zn,+) 29
The following corollary is obtained directly from Theorem 1.2(iii) and Theorem
2.6.
Corollary 2.7. For any prime p, MHom(Zp,+) is a regular semigroup of order 1 + p.
Example 2.8. By Theorem 1.2(iii) and Theorem 2.6, MHom(Z6,+) is a regular semigroup of order 1 + 2 + 3 + 6 = 12. By Corollary 2.5(ii),
|Reg(MHom(Z20,+))| = (1 + 2 + 5 + 10) + |{a ∈ {0,1,2,3} | (a,
4 (4,a)
) = 1}|
+ |{a ∈ {0,1,...,19} | (a,
20 (20,a)
) = 1}|
= 18 + (3 + 15) = 36
since for a ∈ {0,1,2,3}, (a,
4 (4,a)
) = 1 ⇔ a ∈ {0,1,3}
and
for a ∈ {0,1,...,19}, (a,
20 (20,a)
) = 1 ⇔ a ∈ {0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,
15,16,17,19}.
By Theorem 1.2(iii), |MHom(Z20,+)Reg(MHom(Z20,+))| = (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20) − 36 = 42 − 36 = 6.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn, +)W. Teparos และ Y. Kemprasitบทคัดย่อ: องค์ประกอบเป็นของ semigroup กับ S จะเรียกว่าปกติถ้าเป็น = aba สำหรับบาง∈ b S และ S คือ semigroup ปกติถ้าทุกองค์ประกอบของ S เป็นปกติ กลุ่ม G แสดง โดย MHom(G) semigroup ภายใต้ องค์ประกอบของมัลติ homomorphisms ทั้งหมดของ G ในตัวเอง เป็นที่รู้จักกันองค์ประกอบของ MHom(Zn,+) แม่นยำ Ik เป็น k ∈ Z และ Ik,a(x) = ax + kZn สำหรับทุก x ∈ Z และ |MHom(Zn,+) | = X k|n k วัตถุประสงค์ของเราคือการ แสดงที่ k เป็น∈ Z, Ik เป็นขาประจำองค์ประกอบของ semigroup MHom(Zn,+) ถ้าและเดียวถ้ามี และ(n, k) (n, k แบบ)ค่อนข้างสำคัญ และ MHom(Zn,+) เป็น semigroup ปกติถ้าและเฉพาะถ้า n สแควร์ฟรีคำสำคัญ: Multihomomorphism, semigroup ปกติ 2000 คณิตศาสตร์เรื่อง Classification: 32A12, 20M 17บทนำ 1สามารถระบุโดยจำนวนนับของชุด X |X| ด้วยหลากหลายฟังก์ชั่นจากชุด nonempty X เป็น Y แบบชุด nonempty เราหมายความว่า มีฟังก์ชัน f: X → P∗ (Y) โดยที่ P (Y) คือ ชุดไฟของ Y และ P∗ (Y) = P (Y) {∅} สำหรับ⊆ X, f(A) ให้ = [a∈A f(a) ความต่อเนื่องของ multifunctions ระหว่างสองช่อง topological ถูกศึกษา โดย Whyburn [6], Smithson [4] และ Feichtinger [2] Multihomomorphisms ระหว่างกลุ่มได้ defined ธรรมชาติใน [5] ดังนี้: f เครื่องมัลติฟังก์ชั่นจากกลุ่ม G ในกลุ่ม G0 คือถ้า multihomomorphism f(xy) = f(x)f(y) (= {เซนต์ | s ∈ f(x) และ t ∈ f(y) }) สำหรับทุก x, y ∈กรัมแสดง โดย MHom(G,G0) ชุดของหลาย homomorphisms ทั้งหมดจาก G เป็น G0และเขียน MHom(G) MHom(G,G) เห็นได้ชัด MHom(G) เป็น semigroup ภายใต้องค์ประกอบ มีลักษณะองค์ประกอบของ MHom(G,G0) สำหรับกลุ่มวัฏจักร G และ G0 และ |MHom (G, G0) | กำหนดใน [5] และยิ่งไปกว่านั้น ความจำเป็นและ sufficient เงื่อนไขสำหรับ f ∈ MHom(G,G0) จะ surjective คือ, [x∈G f(x) = G0 ได้รับใน [3] ใน [1], authers ที่มีเงื่อนไขจำเป็นที่โดดเด่นสำหรับ fไทย 26 J. คณิตศาสตร์(ฉบับพิเศษ 2006) / ปริมาณ Teparos และ Y. Kemprasitของ MHom(G,G0) เมื่อ G0 กลุ่มย่อยของกลุ่มสามารถ (R, +) และกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงการคูณ (R∗, ·) ชุดของจำนวนจริงและ R∗ R = R { 0 } ให้ Z สามารถตั้งค่าจำนวนเต็ม Z + = { x ∈ Z|x > 0 } และ n ∈ Z + ให้ (Zn, +) เป็นกลุ่มสามารถจำนวนเต็ม modulo n ชั้นลงตัว modulo n ของ x จะแทนได้ ด้วย x แล้ว Zn = { x | x ∈ Z } = {0,1,..., n − 1 } และ |Zn| = n สำหรับ a1, a2,..., ∈ Z กำลัง ไม่ 0, g.c.d. ของ a1, a2,..., ฉันเป็น denoted ด้วย (a1, a2,..., ฉัน) จึงชัดเจนเห็นว่า kZn = (k, n) Zn k ∈ Z ทั้งหมด และ kZn + lZn = (k, l) Zn ทั้งหมด k, l ∈ Z, 0 ทั้งสองไม่ ถ้า k ∈ Z, define Ik มัลติฟังก์ชั่น การจาก Zn ในตัวเองด้วยIk,a(x) = ax + kZn สำหรับทุก x ∈ Zผลลัพธ์ต่อไปนี้จะเรียกว่าทฤษฎีบทที่ 1.1 MHom(Zn,+) ([5]) = {Ik, a|k ∈ Z }ทฤษฎีบท 1.2 ([5]) คำสั่งต่อไปนี้ถือ (i) ถ้า k, l ∈ Z + k|n, l|n ∈ {0,1,..., k − 1 } b ∈ {0,1,..., l − 1 } และ Ik เป็น = Il บี แล้ว k = l และ = b. (ii) MHom(Zn,+) = { Ik การ | k ∈ Z + k|n และ∈ {0,1,..., k − 1 } } (iii) |MHom(Zn,+) | = K∈Z X + k|n kหมายเหตุว่า ในทฤษฎีบท 1.2 (iii) ได้รับมาโดยตรงจาก (i) และ (ii) องค์เป็นของ semigroup S จะเรียกว่าปกติถ้าเป็น = aba สำหรับบาง b ∈ s ได้แสดงโดย Reg (S) ชุดขององค์ประกอบปกติทั้งหมดของ s ได้ ถ้าทุกองค์ประกอบของ S ปกติ คือ หมายเลขทะเบียน (S) = S, S คือ semigroup ปกติ วัตถุประสงค์ของเราคือการ แสดงที่ k ∈ Z, Ik เป็นองค์ประกอบทั่วไปของ MHom(Zn,+) และถ้าเป็น (n, k) และ (n, k ) จะค่อนข้างเฉพาะ และ MHom(Zn,+) เป็น semigroup ปกติถ้าและเฉพาะถ้า n เป็นสแควร์ฟรี เรียกคืนเรียก n ว่าถ้าสแควร์ฟรีสำหรับทุก∈ Z มี > 1, a2 - n Hence ตอนเหนือคือ ถ้าสแควร์ฟรีและรับ n ใด = 1 หรือ n เป็นผลิตภัณฑ์ของโรงแรมไพรม์แตกต่างกัน2 ความ MHom(Zn,+)ตลอดส่วนนี้ ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก Lemmas สามต่อไปนี้มีความจำเป็นจับมือ 2.1 ถ้า r, s, t ∈ Z, r 6 = 0 และ t 6 = 0 ดังกล่าวที่ r | (st (s, t)), r2 แล้ว | tหลักฐานการ จาก asumption, r | s และ r|t (s, t). แล้ว r (s, t) |t. Hence r|s และ r|t ซึ่งหมายถึงการที่ r|(s, t), และ r2|r(s,t) ดังนั้น แต่ r (s, t) |t, r2|t เพื่อให้ความ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn, +) 27จับมือ 2.2 สำหรับ k, l, Z ∈ a, bIk, aIl, b =(ฉัน (k, al), ab ถ้า k 6 = 0, Ial, ab ถ้า k = 0หลักฐานการ สำหรับ x ∈ ZIk,aIl,b(x) = Ik เป็น (bx + lZn) =เป็น (bx + lZn) + kZn = abx alZn + kZn=(abx + (k, al) Zn = I(k,al),ab(x) ถ้า k 6 = 0, abx + alZn = Ial,ab(x) ถ้า k = 0ดังนั้น การจับมือเป็นเครื่องพิสูจน์จับมือ 2.3 ถ้า k, l, a, b ∈ Z เป็นเช่นว่า Ik การ = Il บี แล้ว kZn = lZn และ (n, k) |(เป็น− b)หลักฐานการ เรามีที่ kZn = Ik,a(0) = Il,b(0) = lZn Ik แล้วเป็น =ดังนั้น + kZn, Ik, b = Ik,a(1) = Ik,b(1) = b + kZn ดังนั้น− b = kt สำหรับบาง∈ t Z, n| ดังนั้น(เป็น− b − kt) เนื่องจาก (n, k) |n (n, k) และ |kt เป็นไปตามนั้น (k n ) |(เป็น− b)ทฤษฎีบทที่ 2.4 สำหรับ k ∈ Z, Ik เป็นองค์ประกอบทั่วไปของ semigroup MHom(Zn,+) และถ้ามี (n, k) และ (n, k ) จะค่อนข้างเฉพาะหลักฐานการ ครั้งแรก สมมติว่า Ik เป็นองค์ประกอบทั่วไปของ MHom(Zn,+) แล้วมี l, b ∈ Z เช่นว่า Ik การ = Ik, aIl, bIk การ โดยจับมือ 2.2, Ik, aIl, bIk =เป็น a2b สำหรับบาง∈ s Z และอื่น ๆ โดยการจับมือ 2.3, (n, k) |(a2b −การ) หมายความว่า (k n ) (n, k การ) | มี (n, k การ) (ab − 1) (N, k) แต่ (n, k การ) และ (n, k การ) ค่อนข้างสำคัญ (n, k) (n, k การ) |(ab − 1) ดังนั้น ab + (n, k) (n, k การ) t = 1 สำหรับ∈บางที Z ดังนั้น เป็น (nk) และ (n, k การ) จะค่อนข้างเฉพาะ ในทางกลับกัน สมมุติว่าเป็น (n, k) และ (n, k การ) เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง แล้วมี b, c ∈ Z กล่าวว่า ab + (n, k) (n, k การ) c = 1 เป็นไปตามที่ (a2b −เป็น) x ax = (ab − 1) เขต (n, k) = (n, k ) cax ถัด = (n, k) เขตเป็น (n, k ) ∈ถัด cx (n, k) Zn = kZn สำหรับทุก x ∈ z. Conse - quently, a2bx + kZn = ax + kZn สำหรับทุก x ∈ Z โดยจับมือ 2.2Ik, aIk, bIk, =การ(I(k,a(k,bk)), a2b = Ik, a2b ถ้า k 6 = 0, I0, a2b = Ik, a2b ถ้า k = 0ไทย 28 J. คณิตศาสตร์(ฉบับพิเศษ 2006) / ปริมาณ Teparos และ Y. Kemprasitดังนั้นสำหรับทุก x ∈ Z, Ik,aIk,bIk,a(x) = a2bx + kZn = ax + kZn = Ik,a(x), Ik นั้น aIk, bIk เป็น = Ik อ.จึง Ik เป็นองค์ประกอบทั่วไปของ MHom(Zn,+) ตามต้องการCorollary 2.5 ให้ QF เป็นชุดของจำนวนเต็มบวกที่สแควร์ฟรีทั้งหมด แล้ว ประโยคที่ค้างไว้(i) Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik การ | k ∈ Z + k|n ∈ {0,1,..., k − 1 } และ (a, k (k การ)) = 1}= { Ik การ | k ∈ QF, k|n และ∈ {0,1,..., k − 1 } } ∪ { Ik การ | k ∈ Z + QF, k|n ∈ {0,1,..., k − 1 } และ ( k (k แบบ)) = 1}(ii) |Reg(MHom(Zn,+)) |=Xk∈QF k|nk +Xk∈Z + QF k|n|{∈ {0,1,..., k − 1 } | (ak (k แบบ)) = 1}|หลักฐานการ (i ความเสมอภาค first)ตามทฤษฎีบท 1.2(ii) และ 2.4 ทฤษฎีบท และความเสมอภาคที่สองได้รับมาจาก 2.1 จับมือ (ii) ได้รับมาจาก (i) และทฤษฎีบท 1.2(i)ทฤษฎีบท 2.6 Semigroup ที่ MHom(Zn,+) ได้ปกติถ้าและเฉพาะถ้า n สแควร์-ฟรีหลักฐานการ 1.1 ทฤษฎีบทและทฤษฎีบท 2.4 เราได้ลำดับที่MHom(Zn,+) = { Ik การ | k ∈ Z }และReg(MHom(Zn,+)) = { Ik การ | k ∈ Z (a และ(n, k) (n, k แบบ)) = 1}ครั้งแรก สมมติว่า n ไม่สแควร์ฟรี แล้วมีจำนวนเต็ม r > 1 เช่น r2|n ที่ จากนั้น (r, (n, n) (n, n, r)) = (r, n r) = r > 1 ซึ่งหมายถึงการที่∈ r ใน MHom(Zn,+)Reg(MHom(Zn,+)) นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า ถ้า MHom(Zn,+) semigroup ปกติ แล้ว n เป็นสแควร์ฟรี สำหรับคอนเวิร์ส สมมติว่า n คือสแควร์ฟรี แล้วเคสแควร์ฟรีสำหรับทุก∈ k Z + กับ k|n ดังนั้น เราเดาจาก 2.5 Corollary (i) ที่Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik การ | k ∈ Z + k|n และ∈ {0,1,..., k − 1 } }โดยทฤษฎีบท 1.2(ii) เรามี Reg(MHom(Zn,+)) = MHom(Zn,+) ดังนั้น MHom(Zn,+) เป็น semigroup ปกติความ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn, +) 29Corollary ต่อไปนี้ได้รับมาโดยตรงจากทฤษฎีบท 1.2(iii) และทฤษฎีบท2.6Corollary 2.7 สำหรับ p เฉพาะ MHom(Zp,+) เป็น semigroup ปกติสั่ง 1 + pตัวอย่างที่ 2.8 โดยทฤษฎีบท 1.2(iii) และทฤษฎีบท 2.6, MHom(Z6,+) เป็น semigroup ปกติสั่ง 1 + 2 + 3 + 6 = 12 โดย Corollary 2.5(ii)|Reg(MHom(Z20,+)) | = (1 + 2 + 5 + 10) + |{∈ { 0,1,2,3 } | (a4 (4 แบบ)) = 1}|+ |{∈ {0,1,... 19 } | (a20 (20 แบบ)) = 1}|= 18 + (3 + 15) = 36ตั้งแต่สำหรับ∈ { 0,1,2,3 }, (a4 (4 แบบ)) = 1 ⇔∈ { 0,1,3 }และสำหรับ∈ {0,1,... 19 }, (a20 (20 แบบ)) =⇔ 1 a ∈ {0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,1315,16,17,19 }โดยทฤษฎีบท 1.2(iii), |MHom(Z20,+)Reg(MHom(Z20,+)) | = (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20) − 36 = 42 − 36 = 6

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความสม่ำเสมอของ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn +)
ดับบลิว Teparos และวาย Kemprasit
บทคัดย่อ: องค์ประกอบของกึ่งกรุป S ที่เรียกว่าปกติถ้า = Aba สำหรับบางข∈ S และ S ที่เรียกว่ากึ่งปกติถ้าองค์ประกอบของ S ทุกคนเป็นปกติ สำหรับกลุ่ม G, แสดงโดย MHom (G) semigroup ภายใต้องค์ประกอบของ homomorphisms หลายทั้งหมดของ บริษัท จีเข้าไปในตัวของมันเอง เป็นที่ทราบกันว่าองค์ประกอบของ MHom (Zn +) มีความแม่นยำ Ik, ที่ k, ∈ Z และ Ik, (x) ขวาน + = KZN สำหรับทุก x ∈ Z และ | MHom (Zn +) | = X k | n k จุดประสงค์ของเราคือการแสดงให้เห็นว่า k, ∈ Z, Ik, เป็นปกติ
องค์ประกอบของ semigroup MHom (Zn +) และถ้าหากและ
(n, k) (n, k,)
มีความสำคัญ และ MHom (Zn, +) เป็นกึ่งกลุ่มปกติและถ้าหาก n เป็นตารางฟรี.
คำสำคัญ: Multihomomorphism, semigroup ปกติ 2,000 คณิตศาสตร์เรื่อง Classi ไอออนบวก Fi: 32A12, 20M17
1 บทนำ
เซต X ชุดจะแสดงโดย X | | | . โดยมัลติฟังก์ชั่จากชุด nonempty X เป็น nonempty ชุด Y เราหมายถึงฟังก์ชัน f: X → P * (Y) ที่ P (Y) เป็นชุดพลังของ Y และ P * (Y) = P (Y) { ∅} สำหรับ⊆ X ให้ f (A) = [a∈A f () ความต่อเนื่องของ multifunctions ระหว่างสองช่องว่าง topological กำลังศึกษา Whyburn [6], สมิท [4] และ Feichtinger [2] Multihomomorphisms ระหว่างกลุ่มมีนิยามตามธรรมชาติใน [5] ดังนี้ฉมัลติฟังก์ชั่จากกลุ่ม G เป็น G0 กลุ่มที่เรียกว่า multihomomorphism ถ้า f (XY) = f (x) f (Y) (= {เซนต์ | S ∈ฉ (x) และเสื้อ∈ f (Y)}) สำหรับทุก x, y ∈ G. แสดงว่าโดย MHom (G, G0) ชุดของ homomorphisms หลายจาก G เป็น G0 และเขียน MHom (G) สำหรับ MHom (G , G) เห็นได้ชัดว่า MHom (G) เป็นกึ่งกรุปภายใต้องค์ประกอบ สำหรับกลุ่มวงจร G และ G0 องค์ประกอบของ MHom (G, G0) มีลักษณะและ | MHom (G, G0) | ถูกกำหนดใน [5] และนอกจากนี้ยังจำเป็นและ su FFI เงื่อนไขเพียงพอสำหรับฉ∈ MHom (G, G0) เพื่อ เป็น surjective, ที่อยู่, [x∈G f (x) = G0, ได้รับใน [3] ใน [1], authers ให้เงื่อนไขที่จำเป็นน่าทึ่งสำหรับฉ
26 ไทยเจคณิตศาสตร์. (ฉบับพิเศษ 2006) / ดับบลิววาย Teparos และ Kemprasit
ที่อยู่ในประเภท MHom (G, G0) เมื่อ G0 เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสารเติมแต่ง (r +) และกลุ่มย่อยของกลุ่มคูณ (R * ·) ที่ R คือชุดของตัวเลขจริงและ R = R * {0} ให้ Z เป็นชุดของจำนวนเต็ม, Z + = {x ∈ Z | x> 0} และ n ∈ Z + ให้ (Zn +) เป็นกลุ่มสารเติมแต่งของจำนวนเต็มแบบโมดูโล n ระดับความสอดคล้องกันแบบโมดูโล n ของ x จะถูกแทนด้วย x จากนั้น Zn = {x | x ∈ Z} = {0,1, ... , n - 1} และ | Zn | n = สำหรับ a1, a2, ... กำลัง∈ Z ไม่ทั้งหมด 0, GCD ของ a1, a2, ... นจะแสดงโดย (a1, a2, ... am) จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า KZN = (k, n) Zn สำหรับทุก k ∈ Z และ KZN + lZn = (K, L) Zn สำหรับทุก K, L ∈ Z, ไม่ใช่ทั้งสอง 0 หาก k, ∈ Z เดสายตะวันออกเฉียงเหนือ มัลติฟังก์ชั่ Ik, จากสังกะสีเป็นตัวเองโดย
Ik, (x) ขวาน + = KZN สำหรับทุก x ∈ Z.
ผลต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกัน.
ทฤษฎีบท 1.1 ([5]) MHom (Zn +) = {Ik, | k, ∈ Z}.
ทฤษฎีบท 1.2 ([5]) งบต่อไปนี้ถือ (i) ถ้า K, L ∈ Z + k | n, L | n, ∈ {0,1, ... , k - 1} ข∈ {0,1, ... , L - 1} และ Ik, Il = b, แล้ว k = ลิตรและ b = (ii) MHom (Zn +) = {Ik, | k ∈ Z + k | n และ∈ {0,1, ... , k - 1}} (iii) | MHom (Zn +) | X = k∈Z + K |. n k
ทราบว่าในทฤษฎีบท 1.2 (iii) จะได้รับโดยตรงจาก (i) และ (ii) องค์ประกอบของ S semigroup เรียกว่าปกติถ้า = Aba สำหรับบางข∈ S. แสดงว่าโดยเร็ก (S) ชุดขององค์ประกอบปกติทั้งหมดของเอสถ้าองค์ประกอบของ S ทุกคนเป็นปกติว่ามีที่เร็ก (S) = S, S เรียกว่ากึ่งปกติ จุดประสงค์ของเราคือการแสดงให้เห็นว่า k, ∈ Z, Ik, เป็นองค์ประกอบปกติของ MHom (Zn +) และถ้าหากและ (n, k) (n, k,) มีความสำคัญและ MHom (Zn, +) เป็นกึ่งกลุ่มปกติและถ้าหาก n เป็นตารางฟรี จำ n ที่เรียกว่าตารางฟรีหากทุก∈ Z กับ> 1 a2 - n ดังนั้น n คือตารางฟรีและถ้าหากทั้ง n = 1 หรือ n เป็นผลิตภัณฑ์ของช่วงเวลาที่แตกต่างกัน.
2 สม่ำเสมอของ MHom (Zn +)
ตลอดส่วนนี้ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก ต่อไปนี้สาม lemmas มีความจำเป็น.
บทแทรก 2.1 ถ้า R, S, T ∈ Z, R 6 = 0 และ T 6 = 0 ดังกล่าวว่า R | (s,
T (S, T)
) แล้ว r2 |. เสื้อ
หลักฐาน จาก Asumption, R | และ R |
ตันขึ้นไป (S,
T) จากนั้นอาร์ (S, T) | ที ดังนั้น r | และ R | T ซึ่งหมายความว่า R | (S, T) และทำให้ r2 | R (S, T) แต่อาร์ (S, T) | t, r2 |. เสื้อ
สม่ำเสมอของ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn +) 27
บทแทรก 2.2 สำหรับ K, L, A, B ∈ Z,
Ik, Ail, B =
(I (k อัล), AB ถ้า k 6 = 0 Ial, AB ถ้า k = 0.
หลักฐาน. สำหรับ x ∈ Z,
Ik, Ail ข (x) = Ik, (BX + lZn) = (BX + lZn) + KZN = Abx + alZn + KZN
=
(
Abx + (k อัล) Zn = ฉัน (k อัล), AB (x ) ถ้า k 6 = 0 Abx + alZn = Ial, AB (x) ถ้า k = 0
เพื่อแทรกพิสูจน์.
บทแทรก 2.3. หาก K, L, A, B ∈ Z ดังกล่าวว่า Ik, = Il, B แล้ว KZN = lZn และ (n, k) |. (- ข)
. เรามีหลักฐานที่ KZN = Ik, (0) = Il ข (0) = lZn แล้ว Ik, = Ik, ข. ดังนั้น + KZN = Ik, (1) = Ik ข (1) = b + KZN ดังนั้น - ข = KT สำหรับบาง T ∈ Z จึง n |.. (- ข - KT) ตั้งแต่ (n , k) | n และ (n, k) | KT มันตามที่ (n, k) |. (- ข)
. ทฤษฎีบท 2.4 สำหรับ k, ∈ Z, Ik, เป็นองค์ประกอบปกติของ semigroup MHom (Zn +) และถ้าหากและ (n, k) (n, k,) มีความสำคัญ.
หลักฐาน. แรกคิดว่า Ik, เป็นองค์ประกอบปกติของ MHom (Zn +). จากนั้นก็มี มี L, B ∈ Z ดังกล่าวว่า Ik, = Ik, Ail, Bik,. โดยบทแทรก 2.2 Ik, Ail, Bik, = คือ, A2B สำหรับบาง S ∈ Z และอื่น ๆ โดยบทแทรก 2.3 (n, k) |. (A2B -) นี่ก็หมายความว่า (n, k) (n, k,) |. (n, k,) (AB - 1) แต่ (n, k) (n, k, ) และ (n, k,) มีความสำคัญจึง (n, k) (n, k,) | (AB - 1) ดังนั้น AB + (n, k) (n, k,) t = 1 สำหรับบาง T ∈ Z. ดังนั้นและ (NK) (n, k,) มีความสำคัญ ตรงกันข้ามสมมติว่าและ (n, k) (n, k,) มีความสำคัญ จากนั้นก็มี B, C ∈ Z ดังกล่าวว่า AB + (n, k) (n, k,) c = 1 ตามที่ (A2B -) x = (AB - 1) ขวาน = μ (n, k ) (n, k,) CAX ¶ = (n, k) μ (n, k,) ¶ CX ∈ (n, k) Zn = KZN สำหรับทุก x ∈ Z. เข้มงวด, a2bx + KZN = ขวาน + KZN สำหรับทุก x ∈ Z. โดยบทแทรก 2.2
Ik, Aik, Bik, =
(
I (k, (k, BK)) A2B = Ik, A2B ถ้า k 6 = 0, I0, A2B = Ik , A2B ถ้า k = 0.
28 ไทยเจคณิตศาสตร์. (ฉบับพิเศษ 2006) / ดับบลิววาย Teparos และ Kemprasit
ดังนั้นสำหรับทุก x ∈ Z, Ik, Aik, Bik, (x) = a2bx + KZN = ขวาน + KZN = Ik, (x) ดังนั้น Ik, Aik, Bik, Ik =,. ดังนั้น Ik, เป็นองค์ประกอบปกติของ MHom (Zn +) ตามที่ต้องการ.
ควันหลง 2.5. ให้ QF เป็นชุด . ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตารางฟรีแล้วข้อความต่อไปนี้ถือ.
(i) เร็ก (MHom (Zn +)) = {Ik, | k ∈ Z + k | n, ∈ {0,1, ... , k - 1} และ (a, k (k,)
) = 1}
= {Ik, | k ∈ QF, k | n และ∈ {0,1, ... , k - 1}} ∪ {Ik, | k ∈ Z + QF, k | n, ∈ {0,1, ... , k - 1} และ (a, k (k,)
) = 1}
(ii) | REG ( MHom (Zn +)) |
=
X
k∈QF k | n
k +
X
+ k∈Z QF k | n
| {∈ {0,1, ... , k - 1} | (a,
k ( k,)
) = 1} |
. หลักฐาน (i) ความเท่าเทียมกันดังนี้สายแรกจากทฤษฎีบท 1.2 (ii) และทฤษฎีบท 2.4 และความเท่าเทียมกันที่สองจะได้รับจากบทแทรก 2.1 (ii) จะได้รับจาก (i) และทฤษฎีบท 1.2 (i).
ทฤษฎีบท 2.6 semigroup MHom (Zn, +) เป็นปกติและถ้าหาก n เป็นจัตุรัสฟรี.
หลักฐาน จากทฤษฎีบท 1.1 และ 2.4 ทฤษฎีบทเรามีตามลำดับที่
MHom (Zn +) = {Ik, | k, ∈ Z}
และ
เร็ก (MHom (Zn +)) = {Ik, | k, ∈ Z และ (a,
(n, k) (n, k,)
) = 1}
แรกสมมติว่า n เป็นตารางได้ฟรี แล้วมีอยู่จำนวนเต็ม R> 1 เช่นที่ r2 | n จากนั้น (r (N, N) (N, N, R)) = (R, nr) r => 1 ซึ่งหมายความว่าในการวิจัย∈ MHom (Zn +) เร็ก (MHom (Zn +)) นี่เป็นข้อพิสูจน์ว่าถ้า MHom (Zn, +) เป็นกึ่งปกติแล้ว n คือตารางฟรี สำหรับการสนทนาสมมติ n ที่เป็นตารางฟรี จากนั้น k เป็นตารางฟรีสำหรับทุก k ∈ Z + กับ k | n ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปจากผลที่ 2.5 (i) ที่
เร็ก (MHom (Zn +)) = {Ik, | k ∈ Z + k | n และ∈ {0,1, ... , k - 1}}
โดยทฤษฎีบท 1.2 (ii) เรามีเร็ก (MHom (Zn +)) = MHom (Zn +) ดังนั้น MHom (Zn, +) เป็นกึ่งปกติ.
สม่ำเสมอของ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn +) 29
ข้อพิสูจน์ต่อไปนี้จะได้รับโดยตรงจากทฤษฎีบท 1.2 (iii) และทฤษฎีบท
2.6.
ผลที่ 2.7 สำหรับ P ใด ๆ ที่สำคัญ MHom (Zp, +) เป็นกึ่งปกติของการสั่งซื้อสินค้า 1 + p.
ตัวอย่าง 2.8 โดยทฤษฎีบท 1.2 (iii) และทฤษฎีบท 2.6 MHom (Z6, +) เป็นกึ่งปกติของการสั่งซื้อสินค้า 1 + 2 + 3 + 6 = 12 โดยควันหลง 2.5 (ii)
| เร็ก (MHom (Z20 +)) | = (1 + 2 + 5 + 10) + | {∈ {0,1,2,3} | (,
4 (4)
) = 1} |
+ | {∈ {0,1 ,. .. , 19} | (,
20 (20)
) = 1} |
= 18 + (3 + 15) = 36
ตั้งแต่สำหรับ∈ {0,1,2,3} (,
4 (4 ,)
) = 1 ⇔∈ {0,1,3}
และ
สำหรับ∈ {0,1, ... , 19} (,
20 (20)
) = 1 ⇔∈ {0, 1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,
15,16,17,19}.
โดยทฤษฎีบท 1.2 (iii) | MHom (Z20 +) เร็ก (MHom (Z20 + )) | = (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20) - 36 = 42-36 = 6

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความสม่ำเสมอของกึ่งกรุปของ multihomomorphisms ( Zn )
w
teparos และวาย ยง ภู่วรรณ บทคัดย่อ : องค์ประกอบของกึ่งกรุป S เรียกว่าปกติถ้า = aba สำหรับ B ∈ S และ S จะเรียกว่าเป็นกึ่งกลุ่มปกติ ถ้าทุกองค์ประกอบของการเป็นปกติ สำหรับกลุ่ม G , แสดงโดย mhom ( G ) เซมิกรุปภายใต้องค์ประกอบ ของ multi - homomorphisms G ในตัวเอง . มันเป็นที่รู้จักกันว่าองค์ประกอบของ mhom ( Zn) แน่นอนผม , ที่∈ K , Z และอิค , ( X ) = ax KZN ทั้งหมด x ∈ Z และ | mhom ( Zn ) | = x K | N K . ของเรามีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงให้เห็นว่า∈ K , Z , I , เป็นองค์ประกอบปกติ
ของ การ mhom กึ่งกรุป ( Zn ) ถ้าและเพียงถ้าและ
( n , k ) ( n , K , A )
เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง และ mhom ( Zn ) เป็นกึ่งกลุ่มปกติ ถ้าและเพียงถ้า N เป็นตารางฟรี multihomomorphism
คำสำคัญ : ,ปกติกึ่งกลุ่ม 2000 คณิตศาสตร์เรื่อง classi จึงไอออนบวก : 32a12 20m17
,
1 แนะนำภาวะเชิงการนับของเซต X เป็น X แทน โดย | | . โดยมัลติฟังก์ชันจากเซตเซต X เป็นเซตชุด Y เราหมายถึงฟังก์ชัน f : X ( Y ) P ∗→ keyboard - key - name ที่ P ( Y ) คือ ชุดไฟและ∗ y P ( Y ) = P ( Y ) { ∅ } สำหรับ⊆ X ให้ f ( a ) = [ ∈ A F ( A )ความต่อเนื่องของ multifunctions ระหว่างสองรูปแบบเป็น ศึกษาโดย whyburn [ 6 ] , [ 4 ] และ feichtinger สมิทสัน [ 2 ] multihomomorphisms ระหว่างกลุ่มเดอจึงเน็ดตามธรรมชาติใน [ 5 ] ได้ดังนี้ เป็นมัลติฟังก์ชัน f จากกลุ่ม G เป็นกลุ่ม G0 เรียกว่า multihomomorphism ถ้า f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) ( = { | ST S ∈ f ( x ) และ T ∈ f ( y ) } ) สำหรับ x , y ∈กรัม แสดงโดย mhom ( กรัมG0 ) ชุดของ multi - homomorphisms จากกรัมเป็น G0 และเขียน mhom ( G ) mhom ( G , g ) อย่างชัดเจน mhom ( G ) เป็นกึ่งกลุ่มภายใต้องค์ประกอบ สำหรับวงจรกลุ่ม G และ G0 , องค์ประกอบของ mhom ( G , G0 ) มีลักษณะ และ | mhom ( G , G0 ) | ตั้งใจใน [ 5 ] และยังเป็นซูffi cient เงื่อนไข∈ mhom F ( g , G0 ) ให้ทั่วถึง คือ [ x ∈ G F ( x ) = G0 , ถูกระบุใน [ 3 ] ใน [ 1 ]การ authers ให้เงื่อนไขที่จำเป็นมากสำหรับ f
26 ไทยเจคณิตศาสตร์ ( ฉบับพิเศษ , 2006 ) / W และ teparos วาย ยง ภู่วรรณ
เป็นของ mhom ( G , G0 ) เมื่อ G0 คือกลุ่มย่อยของกลุ่มอาหารเสริม ( R ) และกลุ่มย่อยของกลุ่มการคูณ ( ∗ r , r ด้วย ) ที่ เซตของจำนวนจริง r ∗ = r { 0 } ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม Z = { x ∈ Z | x > 0 } n ∈ Z ให้ ( Zn) เป็นสารเพิ่มกลุ่มของจำนวนเต็มมอดุโล n ชั้นมอดุโล n ความสอดคล้องของ x จะถูกเขียนแทนด้วย X แล้ว Zn = { x x ∈ | Z } = { 0.1 , . . . , n − 1 } และ | สังกะสี | = N A1 , A2 , . . . , เป็น∈ Z , ไม่ทั้งหมด 0 , เส้นระดับ ของ A1 , A2 , . . . , น. เขียนโดย ( A1 , A2 , . . . ) มันเห็นได้อย่างชัดเจนว่า KZN = ( K ( , n ) สังกะสีทั้งหมด∈ K Z และ KZN lzn = ( K ( , L ) สังกะสีสำหรับ K , L ∈ Z ไม่ได้ทั้ง 0 ถ้า k , ∈ Z ,เดอจึงเน่ที่คุณสารพัดประโยชน์จากสังกะสีในตัวเองโดย
ik , ( X ) = ax KZN ทั้งหมด x ∈ Z .
ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกัน .
ทฤษฎีบท 1.1 . ( [ 5 ] ) mhom ( Zn ) = { - , | K , ∈ Z } .
ทฤษฎีบท 1.2 ( [ 5 ] ) งบดังต่อไปนี้ไว้ ( ผม ) ถ้า K , L ∈ Z , K | N , L | N , ∈ { 0.1 , . . . , K − 1 } , B ∈ { 0.1 , . . . , L − 1 } และอิค = อิล บี แล้ว K = L = B ( II ) และ mhom ( สังกะสี ) = { - , | K ∈ Z , K | N และ∈ { 0.1 , . . . , K − 1 } }( 3 ) | mhom ( Zn ) | = x K ∈ Z K | N K .
ทราบว่าทฤษฎีบท 1.2 ( III ) โดยตรงได้จาก ( 1 ) และ ( 2 ) เป็นองค์ประกอบของกึ่งกรุป S เรียกว่าปกติถ้า A = B ∈ ABA สำหรับสหรัฐอเมริกาแสดงโดย REG ( s ) ชุดขององค์ประกอบที่ปกติของ S . ถ้าทุกองค์ประกอบของเป็นปกติ นั่นคือ REG ( s ) = S , s เรียกว่ากึ่งกลุ่มปกติ วัตถุประสงค์ของเราคือการ แสดงให้เห็นว่า∈ K , Z , อิคเป็นองค์ประกอบทั่วไปของ mhom ( Zn ) ถ้าและเพียงถ้า ( n , k ) ( n , K , A ) เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง และ mhom ( Zn ) เป็นกึ่งกลุ่มปกติ ถ้าและเพียงถ้า N เป็นตารางฟรี จำได้ว่าเรียกว่าตารางฟรีถ้าทุก∈ Z ด้วย > 1 , A2 - N ดังนั้น n ตารางฟรีถ้าและเพียงถ้า n = 1 หรือ N เป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน .
2 ความสม่ำเสมอของ mhom ( Zn )
ตลอดส่วนนี้ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก . ต่อไปนี้เป็นสาม lemmas .
พ 2.1 . ถ้า R , S , T ∈ Z , R 6 = 0 และ 6 = 0 เช่นว่า | r ( S ,
t ( S , t )
) แล้วอาร์ทู | T .
พิสูจน์ จาก asumption R | S และ R |
T ( S , t )

แล้ว R ( S , t ) | . ดังนั้น R | S และ R | T ซึ่งหมายความว่า | r ( S , T ) , และดังนั้น | R2 R ( S , t ) แต่ R ( S , t ) | T , R2 | T .
ความสม่ำเสมอของกึ่งกรุปของ multihomomorphisms ( Zn ) 27
แทรก 2.2 . ค่า K , L , A