Behaviour near a discontinuity. Oft

Behaviour near a discontinuity. Often a discontinuity, or break in a graph,
occurs because there is a value of x which would make the denominator of a
rational form zero. Thus, in Example 4,
f: x ® 1/(x–1) is not defined for x = 1, and the graph shows a discontinuity
there.†
In a footnote this is modified to the standard definition (SMP, Book 1, Chapter
5, p. 133);
† It is customary, though not strictly correct, to say that the function is
discontinuous at x = l: in fact it is neither continuous nor discontinuous,
because it is undefined. We could define f(1) = 0, or any other number, but we
cannot choose this number so as to make f(x) continuous.
The net effect on the concept image, however, is, almost certainly, a
reinforcement of the intuitive idea that the graph has “no gaps” and may be
drawn freely without lifting the pencil from the paper.
Once more the formal definition in SMP comes at the end of the course
(SMP, Book 4, Chapter 43, p. 1326):
Redefining continuity. Exercise E gives a number of examples of
discontinuities, and should have made it clear that lim
x®a
f (x) may be entirely
different from f(a), and that either may exist independently of the other. This,
in fact, is the essence of a discontinuity, and we may provisionally redefine
continuity as follows:
Definition. f is said to be continuous at a if lim
x®a
f (x) = f (a).
This can immediately be rewritten in ‘challenge and response’ form, from our
knowledge of limits:
Theorem. f is continuous at a if and only if for every positive number h there is
a number k such that
x - a < k Þ f (x) - f (a) < h .
The theorem follows at once from the definition of a limit.
In this case the value x = a need not be excluded, for then f(x) = f(a) and the
theorem is true.
What concept images do students have of continuity when they arrive at
university? Once again we only have evidence from students with a variety of
backgrounds.
A questionnaire was administered to 41 students with an A or B grade in Alevel
mathematics. They were asked:
“Which of the following functions are continuous? If possible, give your
reason for your answer.”
They were given five functions, as follows:
f1 (x) = x2

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พฤติกรรมใกล้ตัวโฮ โฮมักจะ หรือแบ่งเป็นกราฟเกิดขึ้นเนื่องจากมีค่า x ซึ่งจะทำให้ตัวหารของการเชือดแบบฟอร์มศูนย์ ดังนั้น ในตัวอย่างที่ 4ไม่มีกำหนด 1/(x–1) f: x ®สำหรับ x = 1 และกราฟแสดงการโฮมีการ †ในเชิงอรรถ นี้ถูกปรับเปลี่ยนในข้อกำหนดมาตรฐาน (บท SMP บัญชี 15, p. 133);† มันเป็นขนบธรรมเนียม ว่าไม่เคร่งครัดถูกต้อง การกล่าวว่า เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x = l:ในความเป็นจริงจึงไม่ต่อเนื่อง หรือไม่ต่อ เนื่องเนื่องจากไม่ได้กำหนดไว้ เราสามารถกำหนด f(1) = 0 หรือหมายเลขอื่น แต่เราไม่สามารถเลือกหมายเลขนี้เพื่อให้ f(x) อย่างต่อเนื่องผลสุทธิในรูปแนวคิด อย่างไรก็ตาม เป็น เกือบจะ การเหล็กเสริมของง่ายคิดว่า กราฟมี "ไม่มีช่องว่าง" และอาจวาดได้อย่างอิสระโดยไม่ยกดินสอจากกระดาษอีกครั้งที่ข้อกำหนดใน SMP มาจบหลักสูตร(SMP หนังสือ 4 บทที่ 43, p. 1326):กำหนดความต่อเนื่อง จำนวนตัวอย่างของให้แบบฝึกหัด Ediscontinuities และควรทำชัดเจนที่ริมx ®เป็นf (x) อาจจะทั้งหมดแตกต่างจาก f(a) และว่า หรืออาจอยู่เป็นอิสระจากกัน นี้ในความเป็นจริง คือหัวใจของการโฮ และเราอาจกำหนดสู่ความต่อเนื่องเป็นดังนี้:คำจำกัดความ กล่าวว่า f ต่อเนื่องที่ถ้า limx ®เป็นf (x) = f (a)นี้สามารถทันทีเป็นจิตใน 'ความท้าทายและการตอบสนอง' ฟอร์ม จากของเรารู้ขีดจำกัด:ทฤษฎีบท f มาอย่างต่อเนื่องที่ถ้าเฉพาะทุกจำนวนที่บวก h มีk หมายเลขที่x-< Þ k f (x) - f (a) < hทฤษฎีบทตามกันจากคำนิยามของขีดจำกัดในกรณีที่ค่า x =ต้องไม่แยก สำหรับแล้ว f(x) = f(a) และทฤษฎีบทเป็นจริงภาพแนวคิดใดนักเรียนจะของความต่อเนื่องเมื่อมาถึงที่หรือไม่มหาวิทยาลัยหรือไม่ อีกครั้งเรามีหลักฐานจากนักเรียนที่มีความหลากหลายของพื้นหลังมีจัดการแบบสอบถามการเรียนเป็นเกรด A หรือ B ใน Alevel 41คณิตศาสตร์ พวกเขาถูกถาม:"ซึ่งของฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นอย่างต่อเนื่องหรือไม่ ถ้าเป็นไปได้ ให้คุณเหตุผลสำหรับคำตอบของคุณ"พวกเขาได้รับหน้าที่ 5 เป็นดังนี้:f1 (x) = x2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พฤติกรรมต่อเนื่องใกล้ บ่อยครั้งที่ไม่ต่อเนื่องหรือแบ่งในกราฟเกิดขึ้นเนื่องจากมีค่าของ x ซึ่งจะทำให้ส่วนหนึ่งของรูปแบบที่มีเหตุผลเป็นศูนย์ ดังนั้นในตัวอย่างที่ 4, f: x ® 1 / (x-1) ไม่ได้กำหนดไว้ว่าจะได้ x = 1 และกราฟแสดงให้เห็นต่อเนื่อง. มี†ในเชิงอรรถนี้มีการปรับเปลี่ยนไปสู่ความละเอียดมาตรฐาน (SMP, เล่ม 1, บทที่ 5, หน้า 133). †มันเป็นธรรมเนียม แต่ไม่ถูกต้องอย่างเคร่งครัดที่จะบอกว่าฟังก์ชั่นต่อเนื่องที่x = ลิตรในความเป็นจริงมันไม่ใช่อย่างต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง, เพราะมันจะไม่ได้กำหนด เราสามารถกำหนด f (1) = 0 หรือหมายเลขอื่น ๆแต่เราไม่สามารถเลือกหมายเลขนี้เพื่อที่จะทำให้ f (x) อย่างต่อเนื่อง. ผลกระทบสุทธิที่ภาพแนวคิด แต่เป็นเกือบแน่นอนมีการเสริมแรงของความคิดที่ใช้งานง่ายที่กราฟมี "ไม่มีช่องว่าง" และอาจจะวาดได้อย่างอิสระโดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ. อีกครั้งคำนิยามอย่างเป็นทางการใน SMP มาในตอนท้ายของการเรียนการสอน(SMP, เล่ม 4 บทที่ 43 พี. 1326) : ความต่อเนื่อง Redefining การออกกำลังกายจะช่วยให้อีจำนวนตัวอย่างของต่อเนื่องและควรจะได้ทำให้มันชัดเจนว่าลิ้มx®a f (x) อาจจะทั้งหมดแตกต่างจากf (ก) และที่อาจจะมีอยู่เป็นอิสระจากคนอื่น ๆ นี้ในความเป็นจริงเป็นสาระสำคัญของที่ไม่ต่อเนื่องและเราอาจกำหนดชั่วคราวต่อเนื่องดังนี้นิยาม ฉกล่าวจะต่อเนื่องที่ถ้าลิ้มx®a f (x) = f (ก). นี้สามารถทันทีจะเขียนใหม่ใน 'ความท้าทายและการตอบสนอง' รูปแบบของเราจากความรู้เกี่ยวกับข้อจำกัด : ทฤษฏี ฉอย่างต่อเนื่องที่ถ้าหากสำหรับชั่วโมงจำนวนบวกทุกคนมีจำนวน k ดังกล่าวว่า x - จัดให้ <k Þ f (x) - f. (ก) <ชั่วโมงทฤษฎีบทดังต่อไปนี้ในครั้งเดียวจากนิยามของวงเงินที่. ในกรณีนี้ค่า x = a ไม่จำเป็นต้องได้รับการยกเว้นสำหรับแล้ว f (x) = f (ก) และทฤษฎีบทเป็นความจริง. สิ่งที่ภาพแนวความคิดไม่ให้นักเรียนมีความต่อเนื่องเมื่อพวกเขามาถึงที่มหาวิทยาลัยหรือไม่? อีกครั้งหนึ่งที่เรามีเพียงหลักฐานจากนักเรียนที่มีความหลากหลายของภูมิหลัง. แบบสอบถามเป็นยาถึง 41 นักเรียนที่มี A หรือเกรด B ใน Alevel คณิตศาสตร์ พวกเขาถูกถามว่า: "ซึ่งฟังก์ชั่นต่อไปนี้อย่างต่อเนื่อง? ถ้าเป็นไปได้ให้คุณเหตุผลสำหรับคำตอบของคุณ ". พวกเขาได้รับห้าหน้าที่ดังต่อไปนี้: f1 (x) = x2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พฤติกรรมใกล้สม่ำเสมอ . มักจะมีความไม่ต่อเนื่อง หรือพักในกราฟ
เกิดขึ้นเพราะมีค่าของ x ซึ่งจะทำให้ส่วนของ
แบบฟอร์มตามศูนย์ ดังนั้นในตัวอย่างที่ 4 ,
F : x ® 1 / ( x - 1 ) ไม่ได้กำหนดให้ x = 1 และกราฟแสดงความ

ในที่นั่น ภีษมะเชิงอรรถนี้ปรับเปลี่ยนนิยามมาตรฐาน ( SMP , เล่ม 1 บทที่
5 , หน้า 133 ) ;
ภีษมะมันเป็นวัฒนธรรมแม้ไม่ใช่เรื่องถูกต้องที่จะกล่าวว่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x =
L : ในความเป็นจริงมันไม่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องเพราะมันเป็น God
, . เราสามารถกำหนด f ( 1 ) = 0 หรือเบอร์อื่น แต่เราไม่สามารถเลือกหมายเลขนี้
ให้ f ( x ) อย่างต่อเนื่อง
ผลสุทธิบนภาพ แนวคิด แต่เป็นที่เกือบจะแน่นอน ,
การเสริมแรงของความคิดที่ใช้งานง่าย กราฟมี " ช่องว่าง " และอาจจะ
วาดได้อย่างอิสระโดยไม่ยกดินสอจากกระดาษ
อีกครั้งในการนิยามใน SMP ที่มาที่ส่วนท้ายของหลักสูตร
( SMP , เล่ม 4 บทที่ 43 , หน้า 1326 ) :
ต่อความต่อเนื่อง การออกกำลังกายและช่วยให้จำนวนของตัวอย่างของ
ต่อเนื่อง และน่าจะทำให้มันชัดเจนว่าลิม
x ®เป็น f ( x )

อาจจะทั้งหมดแตกต่างจาก f ( a ) และที่อาจมีอยู่เป็นอิสระของอื่น ๆ นี้
ในความเป็นจริง เป็นสาระสําคัญของความไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ซึ่งเราอาจกำหนดดังนี้

ความหมาย F เป็นอย่างต่อเนื่องที่ถ้าลิม
x ®เป็น
f ( x ) = f ( a )
นี้สามารถถูกเขียนใหม่ใน ' ความท้าทายและการตอบสนองของแบบฟอร์มจากความรู้ของเรา

จำกัด : ทฤษฎีบทf ต่อเนื่องที่ถ้าและเพียงถ้าสำหรับทุกเบอร์บวก H มี
จำนวน K เช่น
x - < K Þ f ( x ) - F ( a ) < H .
ทฤษฎีบท 1 ครั้ง จากนิยามของลิมิต
ในกรณีนี้ค่า x = ความต้องการ ไม่ต้องแยกออก เพราะ f ( x ) = f ( a ) และ

สิ่งที่แนวคิดทฤษฎีเป็นจริง ภาพนักเรียนมีความต่อเนื่องเมื่อพวกเขามาถึง
มหาวิทยาลัย ?อีกครั้งที่เราได้หลักฐานจากนักเรียนที่มีความหลากหลายของภูมิหลัง
.
4 นักเรียน 41 คน กับ A หรือ B เกรดวิชาคณิตศาสตร์เอเลเวล

พวกเขาถูกถาม :
" ซึ่งฟังก์ชันต่อไปนี้อย่างต่อเนื่อง ? ถ้าเป็นไปได้ ให้เหตุผลของคุณสำหรับคำตอบ

" พวกเขาได้รับหน้าที่ห้า ดังนี้
F1 ( x ) = x 2