2. Mathematical formulation of the

2. Mathematical formulation of the problem
The three dimensional fluid domain Ω shown in Fig. 1 is bounded above by the free surface of the ocean z ¼ ηðx; y;tÞ and below by the
rigid ocean floor z ¼ h xð Þþ ; y ζðx; y;tÞ, where ηðx; y;tÞ is the free surface elevation, hðx; yÞ is the water depth and ζðx; y;tÞ is the sea floor
displacement function. The domain Ω is infinite in the horizontal directions x and y, and can be written as
Ω ¼ R2 ½h xð Þþ ; y ζð Þ x; y;t ; ηð Þ x; y;t . The water depth hðx; yÞ is assumed to be constant. Before the landslide, the fluid is assumed to be at
rest, thus the free surface and the solid boundary are defined by z ¼ 0 and z ¼ h, respectively. These conditions can be written in the
form of initial conditions: ηð Þ¼ x; y; 0 ζðx; y; 0Þ ¼ 0. At time t40 the bottom boundary moves in a prescribed manner which is given as
z ¼ hþζð Þ x; y;t . Of particular interest is the resulting deformation of the free surface z ¼ ηðx; y;tÞ. It is considered that the fluid is
incompressible and the flow is irrotational. The former means the existence of a velocity potential ϕð Þ x; y; z;t which fully describes the
flow and the physical process. By definition of ϕ, the fluid velocity vector can be expressed as q
!¼ ∇ϕ . Thus, the potential flow ϕð Þ x; y; z;t
must satisfy the Laplace equation
∇2ϕð Þ¼ x; y; z;t 0 where ð Þ x; y; z AΩ ð1Þ
The potential ϕð Þ x; y; z;t satisfy the following kinematic and dynamic boundary conditions on the free surface and the solid boundary,
respectively:
ϕz ¼ ηt þϕxηx þϕyηy on z ¼ ηð Þ x; y;t ; ð2Þ
ϕz ¼ ζt þϕxζx þϕyζy on z ¼ hþζð Þ x; y;t ; ð3Þ
and
Fig. 1. The fluid domain and coordinate system for a very rapid movement of an assumed curvilinear random slump and slide model.
36 K.T. Ramadan et al. / Ocean Engineering 109 (2015) 34–59
ϕt þ
1
2 ∇ϕ
2
þgη ¼ 0 on z ¼ ηð Þ x; y;t ; ð4Þ
where g is the acceleration due to gravity. As described above, the initial conditions are given as
ϕð Þ¼ x; y; z; 0 ηð Þ¼ x; y; 0 ζðx; y; 0Þ ¼ 0: ð5Þ
2.1. Linear water wave theory
In the case of tsunamis generated by submarine earthquakes, slumps and slides, nonlinear effects are not important during the process
of generation and propagation. This is why it is valid to use the linearized water-wave equations, Dutykh and Dias (2009), Lynett and Liu
(2002). It was also shown that nonlinear shallow water model was not sufficient to model some of the waves generated by a moving
bottom because of the presence of frequency dispersion, Kervella et al. (2007). The linear theory has been developed as a fundamental
theory related to the generation/propagation problem, Saito (2013). Hence, the problem can be linearized by neglecting the nonlinear
terms in the boundary conditions (2)–(4) and applying the boundary conditions on the non-deformed instead of the deformed boundary
surfaces (i.e. z ¼ h and on z ¼ 0 instead of z ¼ hþζð Þ x; y;t and z ¼ ηð Þ x; y;t ) as shown in Eqs. (7)–(9).
The linearized problem in dimensional variables can be written as
∇2ϕð Þ¼ x; y; z;t 0 where ð Þ x; y; z AR2 ½h; 0 ð6Þ
subjected to the following boundary conditions:
ϕz ¼ ηt on z ¼ 0; ð7Þ
ϕz ¼ ζt on z ¼ h; ð8Þ
ϕt þ g η ¼ 0 on z ¼ 0: ð9Þ
The linearized water wave solution can be obtained by the Fourier–Laplace transform.
2.2. Solution of the problem
Our interest is the resulting uplift of the free surface elevation ηð Þ x; y;t . An analytical analyses is done to illustrate the generation and
propagation of a tsunami for a given bed profile ζð Þ x; y;t . Mathematical modeling of waves generated by vertical and lateral displacements
of ocean bottom using the combined Fourier–Laplace transform of the Laplace equation analytically is useful for studying the tsunami
development. All our studies were taken into account constant depths for which the Laplace and Fast Fourier Transform (FFT) methods
could be applied. Eqs. (6)–(9) can be solved by using the method of integral transforms. We apply the Fourier transform in (x, y)
F f xð Þ ; y   ¼ F kð Þ¼ 1; k2
Z
R2
f xð Þ ; y ei kð Þ 1xþk2y dx dy; ð10Þ
with its inverse transform
F1½F kð Þ ¼ 1; k2 f xð Þ¼ ; y
1
ð2πÞ
2
Z
R2
F kð Þ 1; k2 ei kð Þ 1xþk2y dk1dk2 ; ð11Þ
and the Laplace transform in time t,
d½  g ¼ G sð Þ¼ Z 1
0
g tð Þes tdt: ð12Þ
The following notation is introduced for the combined Fourier and Laplace transforms:
F dðf xð Þ ; y;t   ¼ F kð Þ¼ 1; k2; s
Z
R2
ei kð Þ 1x þk2y
Z 1
0
f xð Þ ; y;t es tdt  dx dy: ð13Þ
Combining (7) and (9) yields the single free-surface condition
ϕttð Þþ x; y; 0;t gϕzð Þ¼ x; y; 0;t 0: ð14Þ
After applying the transforms and using the property F dnf
dxn
h i ¼ ðikÞ
nFðkÞ and the initial conditions (5), Eqs. (6), (8) and (14) become
ð Þ k1; k2; z; s k
2
1 þk2
2
 ϕð Þ¼ k1; k2; z; s 0; ð15Þ
ϕzð Þ¼ k1; k2; h; s sζð Þ k1; k2; s ; ð16Þ
s
2ϕð Þþ k1; k2; 0; s gϕzð Þ¼ k1; k2; 0; s 0: ð17Þ
The transformed free-surface elevation can be obtained from (9) as
ηð Þ¼ k1; k2; s s
g
ϕð Þ k1; k2; 0; s : ð18Þ
The general solution of (15) will be given as
ϕð Þ

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. สูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหาล้อมรอบΩโดเมนของของเหลวที่มิติที่สามที่แสดงในรูปที่ 1 ข้างต้น โดย ηðx z ¼มหาสมุทร ผิวฟรี y; tÞ และด้านล่างโดยโอเชี่ยนแข็งชั้น z ¼ h xð Þþ y ζðx y; tÞ ที่ ηðx y; tÞ คือ ยกผิวฟรี hðx yÞ เป็นน้ำลึกและ ζðx y; tÞ เป็นพื้นทะเลปริมาณกระบอกสูบฟังก์ชัน Ωโดเมนเป็นอนันต์ในแนว x และ y และสามารถเขียนเป็นΩ¼ R2 ½h xð Þþ y ζðÞ x y; t ΗðÞ x y; t Hðx ความลึกน้ำ yÞ จะถือว่าเป็นค่าคง ก่อนแผ่นดินถล่ม น้ำจะถือว่าเป็นที่ส่วนที่เหลือ ดังนั้น ผิวฟรีและขอบไม้ถูกกำหนด โดย z ¼¼ h, z และ 0 ตามลำดับ สามารถเขียนเงื่อนไขเหล่านี้ในการรูปแบบของเงื่อนไขเริ่มต้น: ηðÞ¼ x y 0 ζðx y 0Þ ¼ 0 ในเวลา t40 ขอบล่างเลื่อนในลักษณะที่กำหนดซึ่งเป็นÞ hþζð z ¼ x y; t ความสนใจเฉพาะอยู่แมพเป็นผลลัพธ์ของ ηðx z ผิวฟรี¼ y; tÞ ก็ถือว่า เป็นของเหลวบีบอัดไม่ได้และการไหล irrotational ในอดีตหมายถึง การดำรงอยู่ของความเร็วอาจเกิดϕðÞ x y z; t ซึ่งอธิบายอย่างเต็มขั้นตอนและกระบวนการทางกายภาพ โดยนิยามของϕ เวกเตอร์ความเร็วที่ของเหลวสามารถแสดงเป็น q!¼ ∇ϕ . ดังนั้น มากการไหลϕðÞ x y z; tต้องตอบสนองสมการ Laplace∇2ϕð Þ¼ x y z; t 0 ที่ðÞ x y z AΩ ð1ÞÞϕðศักยภาพ x y z; t ตอบสนองเงื่อนไขต่อไปนี้ไดนามิก และจลน์ขอบบนผิวฟรีและขอบไม้ตามลำดับ:Þϕyηy þϕxηx ηt ϕz ¼บนÞηð z ¼ x y; t ð2ÞÞϕyζy þϕxζx ζt ϕz ¼บนÞ hþζð z ¼ x y; t ð3Þและรูปที่ 1 โดเมนของของเหลวและระบบการประสานงานเพื่อการเคลื่อนไหวอย่างรวดเร็วของโหลดโค้งสุ่มตกต่ำและภาพนิ่งแบบรอมฎอน 36 เคทีร้อยเอ็ด / มหาสมุทรวิศวกรรม 109 (2015) 34-59Φt þ12 ∇Φ 2Þηð 0 z บน¼ þgη ¼ x y; t ð4Þซึ่ง g คือ ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ตามที่อธิบายข้างต้น เงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับเป็นΦðÞ¼ x y z 0 ηðÞ¼ x y 0 ζðx y 0Þ ¼ 0: ð5Þ2.1 ทฤษฎีคลื่นเส้นน้ำกรณีสึนามิเกิดจากแผ่นดินไหวใต้น้ำ พับได้ที่นอน และภาพนิ่ง เอฟเฟ็กต์ไม่เชิงเส้นมีความสำคัญในระหว่างกระบวนการสร้างและเผยแพร่ นี่คือเหตุผลที่ถูกต้องเพื่อใช้ linearized น้ำ-คลื่นสมการ Dutykh และของ Dias (2009), Lynett และหลิว(2002) นี้มันยังแสดงให้เห็นรูปแบบไม่เชิงเส้นน้ำที่ไม่เพียงพอในรูปแบบของคลื่นที่เกิดจากการเคลื่อนที่ด้านล่างเนื่องจากการปรากฏตัวของการกระจายความถี่ Kervella et al. (2007) ทฤษฎีเชิงเส้นได้รับการพัฒนาเป็นพื้นฐานทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับการเผยแพร่สำหรับการสร้างปัญหา ค่อยสะดวก (2013) ดังนั้น สามารถ linearized ปัญหา โดยละเลยไม่แบบไม่เชิงเส้นข้อกำหนดในเงื่อนไขขอบเขต (2)–(4) และใช้เงื่อนไขขอบเขตบนที่ไม่ใช่คงแทนขอบเบี้ยว ๆพื้นผิว (เช่น¼ h z และ z ¼ 0 แทน z ¼ hþζð ÞÞ¼ηð t และ z; y; x x; y; t) ดังที่แสดงใน Eqs (7)–(9)ปัญหา linearized ในตัวแปรมิติสามารถเขียนได้เป็น∇2ϕð Þ¼ x y z; t 0 ที่ðÞ x y z AR2 ½h 0 ð6Þภายใต้ขอบเขตเงื่อนไขต่อไปนี้:Ηt ϕz ¼ใน z ¼ 0 ð7ÞΖt ϕz ¼บน¼ h; z ð8ÞΦt þ g η¼ 0 บน z ¼ 0: ð9Þการแก้ไขปัญหาคลื่น linearized น้ำได้ โดยการแปลงฟูริเยร์ – Laplace ได้2.2. การแก้ปัญหาดอกเบี้ยของเราถูก uplift ผลลัพธ์ของÞηðยกผิวฟรี x y; t ทำการวิเคราะห์การวิเคราะห์แสดงให้เห็นถึงการสร้าง และเผยแพร่ของสึนามิสำหรับการนอนกำหนดโปรไฟล์ζðÞ x y; t สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของคลื่นที่สร้าง โดย displacements แนวตั้ง และด้านข้างด้านล่างของมหาสมุทรที่ใช้ฟูริเยร์ – Laplace รวม แปลงของสมการ Laplace analytically มีประโยชน์สำหรับการศึกษาคลื่นสึนามิการพัฒนา ศึกษาของเราทั้งหมดที่ถ่ายลงในบัญชีคงลึกซึ่งวิธี Laplace และรวดเร็วฟูริเยร์การแปลง (FFT)สามารถใช้ Eqs (6)–(9) สามารถแก้ไข โดยใช้วิธีการแปลงหนึ่ง เราใช้การแปลงฟูริเยร์ใน (x, y)F f xð Þ Þ¼ kð F y ¼ 1 k2ZR2f xð Þ y ei kð Þ 1xþk2y dx dy ð10Þด้วยการแปลงผกผันÞ kð F1½F ¼ 1 k2 f xð Þ¼ y1ð2πÞ2ZR2Þ kð F 1 k2 ei kð Þ 1xþk2y dk1dk2 ð11Þและการแปลงลาปลาสในเวลา td½ g ¼ G sð Þ¼ Z 10g tð Þes tdt: ð12Þเครื่องหมายต่อไปนี้เป็นครั้งแรกสำหรับฟูริเยร์รวม และแปลง Laplace:F dðf xð Þ y; t ¼ F kð Þ¼ 1 k2 sZR2ei kð Þ 1 x þk2yZ 10f xð Þ y; t es tdt dx dy: ð13Þสภาพผิวฟรีเดียวของผลผลิตรวม (7) และ (9)Φttð Þþ x y 0; t gϕzð Þ¼ x y 0; t 0: ð14Þหลังจากใช้การแปลง และใช้ dnf คุณสมบัติ Fdxnh ðikÞ i ¼nFðkÞ และเงื่อนไขเริ่มต้น (5), Eqs (6), (8) และ (14) กลายเป็นðÞ k1 k2 z s k21 þk22ΦðÞ¼ k1 k2 z s 0 ð15ÞΦzð Þ¼ k1 k2 ชม.; s sζð Þ k1 k2 s ð16Þs2ϕð Þþ k1 k2 0 s gϕzð Þ¼ k1 k2 0 s 0: ð17Þความสูงพื้นผิวฟรีรับการเปลี่ยนแปลงได้จาก (9) เป็นΗðÞ¼ k1 k2 s sกรัมΦðÞ k1 k2 0 s: ð18Þการแก้ปัญหาทั่วไปของ (15) จะได้รับเป็นΦðÞ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. สูตรคณิตศาสตร์ของปัญหา
มิติΩโดเมนของเหลวสามที่แสดงในรูป 1 ตั้งอยู่ทางทิศเหนือจากพื้นผิวฟรีของมหาสมุทร Z ¼ηðx; Y; TTH และด้านล่างโดย
พื้นมหาสมุทร Z ¼ H แข็ง XD Þþ; Y ζðx; Y; TTH ที่ηðx; Y; TTH เป็นผิวหน้าฟรีสูง HDX; YTH คือความลึกของน้ำและζðx; Y; TTH เป็นทะเลชั้น
ฟังก์ชั่นการกระจัด Ωโดเมนเป็นอนันต์ในทิศทาง x แนวนอนและ Y และสามารถเขียนเป็น
Ω¼ R2 ½h XD Þþ; Y ζðÞ x; Y; T; ηð Th? x; Y; T HDX น้ำลึก; YTH จะถือว่าคงที่ ก่อนที่จะถล่มของเหลวจะถือว่าเป็นที่
ส่วนที่เหลือจึงพื้นผิวฟรีและขอบเขตที่เป็นของแข็งจะถูกกำหนดโดย Z ¼ 0 และ Z ¼ชั่วโมงตามลำดับ เงื่อนไขเหล่านี้สามารถเขียนใน
รูปแบบของเงื่อนไขเริ่มต้น: ηðÞ¼ x; Y; 0 ζðx; Y; 0TH ¼ 0. ในเวลา T40 ย้ายเขตแดนด้านล่างในลักษณะที่กำหนดซึ่งจะได้รับเป็น
Z ¼hþζðÞ x; Y; T น่าสนใจโดยเฉพาะเป็นความผิดปกติที่เกิดจากพื้นผิวฟรี Z ¼ηðx; Y; TTH จะพิจารณาว่าเป็นของเหลว
อัดและไหลเป็น irrotational อดีตหมายถึงการดำรงอยู่ของความเร็วที่มีศักยภาพφðÞ X นั้น Y; Z; T ซึ่งอย่างเต็มที่อธิบาย
การไหลและกระบวนการทางกายภาพ ตามคำนิยามของφ, เวกเตอร์ความเร็วของไหลสามารถแสดงเป็น Q
! ¼∇φ ดังนั้นการที่มีศักยภาพการไหลφðÞ x; Y; Z; T
ต้องตอบสนองสม Laplace
∇2φðÞ¼ x; Y; Z; T 0 โดยที่ D Þ x; Y; Z AΩð1Þ
ศักยภาพφðÞ x; Y; Z; T ตอบสนองความต่อไปนี้เงื่อนไขขอบเขตจลนศาสตร์และแบบไดนามิกบนพื้นผิวฟรีและขอบเขตที่เป็นของแข็ง
ตามลำดับ:
φz¼ηtþφxηxþφyηyบน z ¼ηðÞ x; Y; T; ð2Þ
φz¼ζtþφxζxþφyζyบน z ¼hþζðÞ x; Y; T; ð3Þ
และ
รูป 1. โดเมนของเหลวและระบบพิกัดสำหรับการเคลื่อนไหวอย่างรวดเร็วของโค้งสุ่มตกต่ำและเลื่อนรุ่นสันนิษฐาน.
36 KT เดือนรอมฎอน, et al / วิศวกรรมมหาสมุทร 109 (2015) 34-59
φtÞ
1
2 ∇φ? 2
þgη¼ 0 บน z ¼ηðÞ x; Y; T; ð4Þ
ที่ g คือการเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นเงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับเป็น
φðÞ¼ x; Y; Z; 0 ηðÞ¼ x; Y; 0 ζðx; Y; 0TH ¼ 0: ð5Þ
2.1 เชิงเส้นทฤษฎีคลื่นน้ำ
ในกรณีของคลื่นสึนามิที่เกิดจากแผ่นดินไหวใต้น้ำฟุบและภาพนิ่งผลกระทบเชิงไม่สำคัญในระหว่างขั้นตอน
ของการผลิตและการขยายพันธุ์ นี่คือเหตุผลที่มันเป็นสิ่งที่ถูกต้องที่จะใช้สมการน้ำคลื่นเชิงเส้น, Dutykh และ Dias (2009), Lynett และหลิว
(2002) มันก็แสดงให้เห็นว่าไม่เป็นเชิงเส้นรูปแบบน้ำตื้นไม่เพียงพอที่จะบางรุ่นของคลื่นที่เกิดจากการเคลื่อนไหว
ด้านล่างเพราะการปรากฏตัวของการกระจายความถี่ Kervella et al, (2007) ทฤษฎีเชิงเส้นได้รับการพัฒนาเป็นพื้นฐาน
ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการสร้าง / ขยายพันธุ์ไซโตะ (2013) ดังนั้นปัญหาจะสามารถเชิงเส้นโดยละเลยไม่เชิงเส้น
ข้อตกลงในเงื่อนไขขอบเขต (2) - (4) และการประยุกต์ใช้เงื่อนไขขอบเขตบนไม่ใช่พิการแทนเขตแดนพิการ
พื้นผิว (เช่น Z ¼ H และบน z ¼ 0 แทน ของ Z ¼hþζðÞ x; Y; T และ Z ¼ηðÞ x; Y; T) ดังแสดงใน EQS . (7) - (9)
ปัญหาเชิงเส้นตัวแปรมิติสามารถเขียนเป็น
∇2φðÞ¼ x; Y; Z; T 0 โดยที่ D Þ x; Y; Z ½h AR2; 0? ð6Þ
ภายใต้ขอบเขตเงื่อนไขต่อไปนี้:
φz¼ηtบน z ¼ 0; ð7Þ
φz¼ζtบน z ¼เอช; ð8Þ
φtÞกรัมη¼ 0 บน z ¼ 0: ð9Þ
. การแก้ปัญหาน้ำคลื่นเชิงเส้นสามารถหาได้โดยฟูริเยร์-Laplace transform
2.2 ทางออกของปัญหา
ที่น่าสนใจของเราคือความอิ่มใจที่เกิดจากการยกระดับพื้นผิวฟรีηðÞ x; Y; T วิเคราะห์การวิเคราะห์จะทำเพื่อแสดงให้เห็นถึงการสร้างและการ
แพร่กระจายของคลื่นสึนามิสำหรับโปรไฟล์เตียงรับζðÞ x; Y; T แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของคลื่นที่เกิดจากการเคลื่อนที่ในแนวตั้งและด้านข้าง
ของก้นมหาสมุทรใช้รวมฟูริเยร์-Laplace transform ของสมการ Laplace วิเคราะห์จะเป็นประโยชน์สำหรับการศึกษาสึนามิ
การพัฒนา การศึกษาของเราทั้งหมดถูกนำตัวเข้าไปในส่วนลึกคงบัญชีซึ่ง Laplace และฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็ว (FFT) วิธีการ
สามารถนำไปใช้ EQS (6) - (9) สามารถแก้ไขได้โดยการใช้วิธีการแปลงการหนึ่ง เราใช้การแปลงฟูเรียใน (x, y)
F F XD Þ; Y? ? ¼ F KD Þ¼ 1; K2
Z
R2
F XD Þ; Y EI KD Þ1xþk2y DX DY; ð10Þ
กับผกผันเปลี่ยน
F1½F KD Th? ¼ 1; F K2 XD Þ¼; Y
1
ð2πÞ
2
Z
R2
F KD Þ 1; K2 EI KD Þ1xþk2y dk1dk2; ð11Þ
และ Laplace transform ในเวลา t,
d½? G ¼ G SD Þ¼ Z 1
0
กรัม TD thes TDT: ð12Þ
ต่อไปนี้สัญกรณ์เป็นที่รู้จักสำหรับฟูริเยร์รวมกันและแปลงลาปลาซ:
F DDF XD Þ; Y; T? ? ¼ F KD Þ¼ 1; K2; s
Z
R2
EI KD Þ 1x þk2y
Z 1
0
F XD Þ; Y; T ES TDT? ? DX DY: ð13Þ
รวม (7) และ (9) อัตราผลตอบแทนสภาพผิวฟรีเดียว
φttðÞþ x; Y; 0; T gφzðÞ¼ x; Y; 0; T 0: ð14Þ
หลังจากใช้การแปลงและการใช้ทรัพย์สิน F DNF
DXN
เอชฉัน¼ðikÞ
nFðkÞและเงื่อนไขเริ่มต้น (5), EQS (6) (8) และ (14) กลายเป็น
ðÞ K1; K2; Z; SK
2
1 THK2
2
? φðÞ¼ K1; K2; Z; s 0; ð15Þ
φzð K1 Þ¼; K2; เอช; s K1 sζðÞ; K2; s; ð16Þ
s
2φð K1 Þþ; K2; 0; s gφzðÞ¼ K1; K2; 0; s 0: ð17Þ
เปลี่ยนระดับความสูงฟรีพื้นผิวที่สามารถหาได้จาก (9) เป็น
ηð K1 Þ¼; K2; เอสเอส
กรัม
K1 φðÞ; K2; 0; S: ð18Þ
การแก้ปัญหาทั่วไปของ (15) จะได้รับเป็น
φðÞ