3.2. Coupled Burger's equationsFor

3.2. Coupled Burger's equations

For the purpose of illustration of the variational iteration method for solving the homogeneous form of coupled Burger's equations, we will consider the system of equations
equation(12)
ut−uxx−2uux+(uv)x=0,
Turn MathJax off
equation(13)
vt−vxx−2vvx+(uv)x=0,
Turn MathJax off
the solutions of which are to be obtained subject to the initial conditions
equation(14)
u(x,0)=sinx,v(x,0)=sinx.
Turn MathJax off

To solve the system of equations (12), (13) by means of the variational iteration method, we construct the following correction functionals:
equation(15)
un+1(x,t)=un(x,0)+∫t0λ1{(ut)n−unxx−2ununx∼+(unvn)x∼}dτ,
Turn MathJax off
equation(16)
vn+1(x,t)=vn(x,0)+∫t0λ2{(vt)n−vnxx−2vnvnx∼+(unvn)x∼}dτ,
Turn MathJax off
where λ1 and λ2 are general Lagrange multipliers, and ununx∼, (unvn∼)x, and vnvnx∼ denote restricted variations i.e. δununx∼=δ(unvn∼)x=δvnvnx∼=0.

Making the above correction functional stationary, we obtain the following stationary conditions:
λ′1(τ)=0,
Turn MathJax off
1+λ1(τ)⌋τ=t=0,
Turn MathJax off
λ′2(τ)=0,
Turn MathJax off
equation(17)
1+λ2(τ)⌋τ=t=0.
Turn MathJax off

The Lagrangian multipliers, therefore, can be identified as
equation(18)
λ1=λ2=−1.
Turn MathJax off

Substituting Eq. (18) into the correction functional equations (15) and (16) results in the following iteration formula:
equation(19)
un+1(x,t)=un(x,0)−∫t0{(ut)n−unxx−2ununx+(unvn)x}dτ,
Turn MathJax off
equation(20)
vn+1(x,t)=vn(x,0)−∫t0{(vt)n−vnxx−2vnvnx+(unvn)x}dτ.
Turn MathJax off

We start with initial approximations given by Eqs. (14) and by the above iteration formula we can obtain the following results:
equation(21)
u1(x,t)=sinx−tsinx,
Turn MathJax off
equation(22)
v1(x,t)=sinx−tsinx,
Turn MathJax off
equation(23)
u2(x,t)=sinx−tsinx+t22!sinx,
Turn MathJax off
equation(24)
v2(x,t)=sinx−tsinx+t22!sinx,
Turn MathJax off
equation(25)
u3(x,t)=sinx−tsinx+t22!sinx−t33!sinx,
Turn MathJax off
equation(26)
v3(x,t)=sinx−tsinx+t22!sinx−t33!sinx
Turn MathJax off
and so on. Proceeding as before the rest of components were obtained, and then the two functions u(x,t) and v(x,t) in the closed form are readily found to be
equation(27)
u(x,t)=exp(−t)sinx,
Turn MathJax off
equation(28)
v(x,t)=exp(−t)sinx,
Turn MathJax off
which are exactly the same as those obtained by the Adomian decomposition method [25

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.2. สมการของเบอร์เกอร์ควบคู่

เพื่อวัตถุประสงค์ในภาพประกอบของวิธีการเกิดซ้ำ variational การแก้ไขแบบฟอร์มเหมือนควบคู่เบอร์เกอร์ของสมการ เราจะพิจารณาระบบสมการ
สมการ (12)
ut−uxx−2uux (uv) x = 0,
MathJax เปิดปิด
สมการ (13)
vt−vxx−2vvx (uv) x = 0,
MathJax เปิดปิด
โซลูชั่นที่จะได้รับขึ้นอยู่กับสภาพเริ่มต้น
สมการ (14)
u (x, 0) = sinx, v (x, 0) = sinx.
MathJax เปิดปิด

แก้ระบบสมการ (12), (13) โดยวิธีการเกิดซ้ำ variational เราสร้าง functionals การแก้ไขต่อไปนี้:
สมการ (15)
un 1(x,t)=un(x,0) ∫t0λ1 { n−unxx−2ununx∼ (ut) x∼ (unvn) } dτ,
MathJax เปิดปิด
สมการ (16)
วีเอ็น 1(x,t)=vn(x,0) ∫t0λ2 { n−vnxx−2vnvnx∼ (vt) x∼ (unvn) } dτ,
ปิด MathJax
λ1 และ λ2 ทั่วไปโรงแรมลากรองจ์ multipliers และ ununx∼ (unvn∼) x และ vnvnx∼ ที่แสดงรูปแบบจำกัดเช่น δununx∼ =δ (unvn∼) x = δvnvnx∼ = 0.

ทำงานเครื่องเขียน เรารับสภาพกับการแก้ไขข้างต้น:
λ′1 (τ) = 0,
MathJax เปิดปิด
1 λ1 ⌋τ (τ) = t = 0,
MathJax เปิดปิด
λ′2 (τ) = 0,
MathJax เปิดปิด
สมการ (17)
1 λ2 ⌋τ (τ) = t = 0
ปิด MathJax

Lagrangian เดอะ multipliers ดังนั้น จึงสามารถระบุเป็น
สมการ (18)
λ1 = λ2 = −1.
MathJax เปิดปิด

แทน Eq. (18) ในการแก้ไขงานสมการ (15) และผลลัพธ์ (16) ในสูตรคำนวณซ้ำต่อไปนี้:
สมการ (19)
un 1 (x, t) = −∫t0 สหประชาชาติ (x, 0) { n−unxx−2ununx (ut) (unvn) x } dτ,
MathJax เปิดปิด
สมการ (20)
วีเอ็น 1 (x, t) =วีเอ็น (x, 0) −∫t0 { n−vnxx−2vnvnx (vt) (unvn) x } dτ
ปิด MathJax

เราเริ่มต้น ด้วยเพียงการประมาณเบื้องต้นที่กำหนด โดย Eqs (14) และตามสูตรเกิดซ้ำข้างบน เราสามารถได้รับผลลัพธ์ต่อไปนี้:
สมการ (21)
u1(x,t) = sinx−tsinx,
MathJax เปิดปิด
สมการ (22)
v1(x,t) = sinx−tsinx,
MathJax เปิดปิด
สมการ (23)
u2(x,t) = sinx−tsinx t22 ! sinx,
MathJax เปิดปิด
สมการ (24)
v2(x,t) = sinx−tsinx t22 ! sinx,
MathJax เปิดปิด
สมการ (25)
u3(x,t) = sinx−tsinx t22 ! sinx−t33 ! sinx,
MathJax เปิดปิด
สมการ (26)
v3(x,t) = sinx−tsinx t22 ! sinx−t33 ! sinx
MathJax เปิดปิด
และการ ดำเนินตามก่อนได้รับส่วนเหลือของส่วนประกอบ และจากนั้น ทั้งสองฟังก์ชัน u(x,t) และ v(x,t) ในแบบปิด พร้อมพบจะ
สมการ (27)
u (x, t) = sinx exp (−t),
MathJax เปิดปิด
สมการ (28)
v (x, t) = sinx exp (−t),
MathJax เปิดปิด
ซึ่งประการเดียวกับที่ได้รับ โดยวิธีการแยกส่วนประกอบ Adomian [25

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.2 คู่สมเบอร์เกอร์ของสำหรับวัตถุประสงค์ของภาพประกอบของวิธีการซ้ำแปรผันสำหรับการแก้รูปแบบที่เหมือนกันของสมการคู่เบอร์เกอร์ของเราจะพิจารณาระบบสมการสมการ (12) UT-uxx-2uux + (UV) x = 0 เปิด MathJax ออกสมการ (13) VT-VXX-2vvx + (UV) x = 0 เปิด MathJax ออกโซลูชั่นซึ่งเป็นที่ที่จะได้รับภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นสมการ (14) ยู (x, 0) = sinx, v (x, 0) = sinx เปิด MathJax ออกเพื่อแก้ปัญหาระบบของสมการ (12), (13) โดยวิธีการทวนแปรผันเราสร้าง functionals การแก้ไขดังต่อไปนี้สมการ (15) ยกเลิก + 1 (x, t) = ยกเลิก (x , 0) + ∫t0λ1 {(UT) n-unxx-2ununx~ + (unvn) x~} dτ, เปิด MathJax ออกสมการ (16) VN + 1 (x, t) = VN (x, 0) + ∫t0λ2 {(VT) n-vnxx-2vnvnx~ + (unvn) x~} dτ, เปิด MathJax ออกที่λ1และλ2มีตัวคูณลากรองจ์ทั่วไปและ ununx~ (unvn~) x และ vnvnx~ แสดงถึงรูปแบบที่ จำกัด เช่นδununx~ = δ (unvn~) x = δvnvnx~ = 0 การแก้ไขการข้างต้นทำงานประจำที่เราได้รับเงื่อนไขต่อไปนี้นิ่ง: λ'1 (τ) = 0 เปิด MathJax ออก1 + λ1 (τ) ⌋τ = t = 0, เปิด MathJax ออกλ'2 (τ) = 0 เปิด MathJax ออกสมการ (17) 1 + λ2 (τ) ⌋τ = t = 0 เปิด MathJax ออกตัวคูณลากรองจ์จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นสมการ (18 ) λ1 = λ2 = -1 เปิด MathJax ออกแทนสมการ (18) ลงในสมการทำงานการแก้ไข (15) และ (16) ส่งผลให้สูตรซ้ำต่อไปนี้สมการ (19) ยกเลิก + 1 (x, t) = ยกเลิก (x, 0) -∫t0 {(UT) ออกตา unxx-2ununx + (unvn) x} dτ, เปิด MathJax ออกสมการ (20) VN + 1 (x, t) = VN (x, 0) -∫t0 {(VT) n-vnxx-2vnvnx + (unvn) x} dτ . เปิด MathJax ออกเราเริ่มต้นด้วยการประมาณเริ่มต้นที่กำหนดโดยสม (14) และตามสูตรซ้ำข้างต้นเราจะได้ผลดังต่อไปนี้สมการ (21) u1 (x, t) = sinx-tsinx, เปิด MathJax ออกสมการ (22) v1 (x, t) = sinx-tsinx, เปิด MathJax ออกสมการ (23) u2 (x, t) = sinx-tsinx + T22! sinx, เปิด MathJax ออกสมการ (24) v2 (x, t) = sinx-tsinx + T22! sinx, เปิด MathJax ออกสมการ (25) u3 (x, t) = sinx-tsinx + T22! sinx-T33! sinx, เปิด MathJax ออกสมการ (26) v3 (x, t) = sinx-tsinx + T22! sinx-T33! sinx เปิด MathJax ออกและอื่น ๆ . การดำเนินการก่อนที่จะเป็นส่วนที่เหลือของชิ้นส่วนที่ได้รับและจากนั้นทั้งสองฟังก์ชั่นยู (x, t) และวี (x, t) ในรูปแบบปิดจะพบได้อย่างง่ายดายที่จะเป็นสมการ (27) ยู (x, t) = exp ( -t) sinx, เปิด MathJax ออกสมการ (28) วี (x, t) = exp (-t) sinx, เปิด MathJax ออกซึ่งเป็นเหมือนกับผู้ที่ได้รับโดยวิธีการสลายตัว Adomian [25

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3.2 . เบอร์เกอร์ของสมการคู่

สำหรับวัตถุประสงค์ของภาพประกอบของวิธีทำซ้ำการแก้ไขแบบฟอร์มเป็นเนื้อเดียวกันของเบอร์เกอร์ของสมการคู่เราจะพิจารณาสมการของระบบสมการ ( 12 )

แต่ uxx −− 2uux ( UV ) x = 0 ,
เปิด mathjax ปิด

VT −สมการ ( 13 ) vxx − 2vvx ( UV ) x = 0 ,

เปิด mathjax ออกโซลูชั่นซึ่งได้รับการ
เงื่อนไขเริ่มต้นสมการ ( 14 )
U ( x , 0 ) = sinx , V ( x , 0 ) = sinx .
เปิด mathjax ปิด

เพื่อแก้ระบบสมการ ( 12 ) , ( 13 ) โดยวิธีทำซ้ำแบบที่เราสร้างการแก้ไขฟังก์ชันต่อไปนี้ : สมการ ( 15 )

และ 1 ( X ( , t ) = a ( x , 0 ) ∫λ 1 t0 { ( UT ) n −− unxx 2ununx ∼ ( unvn ) x ∼ } D τ

, เปิด mathjax จากสมการ ( 16 )
VN 1 ( X ( , t ) = VN ( x , 0 ) ∫ t0 λ 2 { ( VT ) n −− vnxx 2vnvnx ∼ ( unvn ) x ∼ } D τเปิด mathjax ปิด

,ที่λ 1 และλ 2 มีตัวคูณลากรองจ์ทั่วไป และ ununx ∼ ( unvn ∼ ) x , และ vnvnx ∼แสดงรูปแบบเช่นδจำกัด ununx ∼ = δ ( unvn ∼ ) x = δ vnvnx ∼ = 0 =

ทำข้างต้นแก้ไขการทำงานคงที่เราได้รับดังต่อไปนี้ ( เงื่อนไข :
λ′ 1 ( τ ) = 0
เปิด mathjax ปิด
1 λ 1 ( τ ) ⌋τ = t = 0
เปิด mathjax ออก
λ′ 2 ( τ ) = 0

เปิด mathjax จากสมการ ( 17 )
1 λ 2 ( τ ) ⌋τ =
t = 0เปิด mathjax ปิด

ลากรองจ์คูณ จึงสามารถระบุได้ด้วยสมการ ( 18 )

λ 1 = λ 2 = − 1 .
เปิด mathjax ปิด

แทนอีคิว ( 18 ) ในการแก้ไขฟังก์ชั่นสมการ ( 15 ) และ ( 16 ) ผลลัพธ์ในต่อไปนี้ซ้ำสูตรสมการ ( 19 :
)
1 a ( x , t ) = a ( x , 0 ) −∫ t0 { ( UT ) n −− unxx 2ununx ( unvn ) x } D τ

, เปิด mathjax จากสมการ ( 20 )
VN 1 ( X ( , t ) = VN ( x , 0 ) −∫ t0 { ( VT ) N −− vnxx 2vnvnx ( unvn ) x } D τ .
เปิด mathjax ปิด

เราเริ่มต้นด้วยการเริ่มต้นที่ได้รับจาก EQS . ( 14 ) และสูตรการข้างต้นเราสามารถได้รับผลดังนี้ สมการ ( 21 ) U1

( x ( , t ) = sinx − tsinx

, เปิด mathjax จากสมการ ( 22 )
V1 ( X ( , t ) = − tsinx sinx , เปิด mathjax ปิด


( 23 ) สมการ U2 ( x ( , t ) = sinx − tsinx t22 ! sinx

, เปิด mathjax จากสมการ ( 24 )
V2 ( X ( , t ) = sinx − tsinx t22 ! sinx
เปิดปิด , mathjax สมการ ( 25 ) U3

( Xt ) = sinx − tsinx t22 ! sinx − t33 ! sinx

, เปิด mathjax จากสมการ ( 26 )
V3 ( X ( , t ) = sinx − tsinx t22 ! sinx − t33 ! sinx

mathjax เปิดปิดและอื่น ๆ ดำเนินการก่อนส่วนที่เหลือขององค์ประกอบที่ได้รับ แล้ว สองฟังก์ชั่น U ( x , t ) และ V ( x , t ) ในรูปแบบปิดพร้อม พบเป็นสมการที่ ( 27 )

U ( x , t ) = exp ( − T ) sinx

, เปิด mathjax ออกจากสมการ 28 )
V ( x , t ) = exp ( − T ) sinx

mathjax ปิดเปิด ,ซึ่งเป็นเหมือนผู้ที่ได้จากการย่อยสลาย adomian [ 25 วิธี