Since the electron orbits are assum

Since the electron orbits are assumed stable the centripetal force on the electron must be balanced by the Coulomb attractive force. Thus, one obtains 2224onomvqrr=πε (4.4)
Solving Eqs.(4.3) and (4.4) yields
224()oonnrmq=hπε (4.5)
Next, the total energy of electron (En) is equal to the sum of kinetic energy (K.E.) and potential energy (P.E.). The kinetic energy is given by 2211224..oonqKEmvr==πε (4.6)
, and the potential energy is given by
24..onqPEr−=πε (4.7)
Note that the potential energy vanishes for . nr→∞
From Eqs.((4.6) and (4.7), the total electron energy is given by 2124....nonqEPEKEr−=+=πε (4.8)
Substituting rn given by Eq.(4.5) into Eq.(4.8) yields 4213.624()onomqEnn−=−=hπε (eV) (4.9)
Where n = 1, 2,3… Equation (4.9) shows that the ionization energy of the first Bohr orbit with n=1 is E1= -13.6 eV. The allowed energy transitions in hydrogen atom as predicted by Bohr’s model are found in excellent agreement with the obsverved spectral lines. Although Bohr’s model given by Eq.(4.9) successfully predicted the hydrogen spectra, the model failed to predict more complex atoms such as helium, the Bohr theory reinforced the concept of energy quantization and failure of the classical mechanics in dealing with systems on an atomic scale. The
quantization of angular momentum in Bohr’s model clearly extended the quantum concept in dealing with systems of the atomic dimensions.
(iii) The Wave-Particle Duality
In 1925 de Broglie suggested that since electromagnetic radiation (waves) exhibited particle-like (photon) properties, particles should also exhibit wave-like properties. De Broglie further hypothesized that, parallel to the photon momentum calculation, the wavelength characteristic of a given particle with momentum p could be calculated from P = h/λ, and λ is the wavelength of the electromagnetic radiation. Based on de Broglie’s wave-particle duality hypothesis, the momentum of a particle (or wave) can be written as
opmvk==h (4.10)
Although pure conjecture at the time, the de Broglie hypothesis was quickly confirmed by well established fact of the wave-particle duality of electromagnetic radiation.
Based on the experimental evidence of blackbody radiation, the Bohr atom, and the wave-particle duality- one is led to the conclusion that classical mechanics do not accurately describe the action of particles in systems with the atomic dimensions. Experiments point to a quantization of observables (energy, angular momentum, etc.) and to the inherent wave-like nature of all matter.
(iv) Schrödinger Equations:
In 1926 Schrödinger established a unified scheme valid for describing both the microscopic and macroscopic universes. The formulation, called wave mechanics, incorporated the physical notion of quantization first advanced by Planck and the wave-like nature of matter hypothesized by de Broglie, was subsequently developed by Schrödinger to treat the electron systems in crystalline materials. There are five basic postulates in the Schrödinger wave mechanics for a single particle system. These are depicted as follows:
(a) There exists a wave function, (,)rtΨΨ=, where r = x, y, z, from which one can ascertain the dynamic behavior of the system and all desired system variables. Note that ψ(r,t) may be a complex quantity with real and imaginery parts, is in general a function of space coordinates, r =x,y,z, and time, t.
(b) The wave function ψ(r,t) for a given system and specified system constraints is determined by solving the time-dependent Schrödinger equation, which is given by 22()2Vrmi−∂∇Ψ+Ψ=− ∂h (

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เนื่องจากวงโคจรอิเล็กตรอนจะถือว่ามีเสถียรภาพ ต้องสมดุลแรง centripetal ในอิเล็กตรอนที่แรงน่าสนใจ Coulomb ดังนั้น หนึ่งได้รับ 2224onomvqrr =πε (4.4)แก้ Eqs (4.3) และอัตราผลตอบแทน (4.4)224 () oonnrmq = hπε (4.5)พลังงานรวมของอิเล็กตรอน (En) มีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ (K.E.) พลังงานศักย์ (p.e. บริษัทการค้า) พลังงานจลน์ถูกกำหนด โดย 2211224..oonqKEmvr ==πε (4.6)และพลังงานศักย์ถูกกำหนดโดย24..onqPEr− =πε (4.7)หมายเหตุที่พลังงานศักย์ที่หายไปสำหรับ nr→∞จาก Eqs ((4.6) และ (4.7), พลังงานรวมของอิเล็กตรอนได้ โดย 2124... nonqEPEKEr− =πε+= (4.8)แทน rn กำหนด โดย Eq.(4.5) เป็น Eq.(4.8) ทำให้ 4213.624 () onomqEnn− =− = hπε (eV) (4.9)กรณี n = 1, 2,3 ... สมการ (4.9) แสดงให้เห็นว่าพลังงาน ionization ของวงโคจรบอร์แรกกับ n = 1 คือ E1 =-13.6 eV การเปลี่ยนพลังงานที่ได้รับอนุญาตในไฮโดรเจนอะตอมเป็นที่คาดการณ์โดยใช้แบบจำลองของบอร์อยู่ในข้อตกลงที่ดีกับเส้นสเปกตรัม obsverved ถึงแม้ว่าแบบจำลองของบอร์กำหนด Eq.(4.9) เรียบร้อยแล้วคาดว่า แรมสเป็คตราไฮโดรเจน แบบที่ไม่สามารถทำนายว่า อะตอมที่ซับซ้อนเช่นฮีเลียม ทฤษฎีบอร์เสริมแนวคิดของ quantization พลังงานและความล้มเหลวของกลศาสตร์ดั้งเดิมในการจัดการกับระบบในระดับอะตอม ที่quantization ของโมเมนตัมเชิงมุมในแบบจำลองของบอร์ของขยายแนวคิดในการจัดการกับระบบของขนาดอะตอมควอนตัมชัดเจน(iii)คลื่น–อนุภาคทวิภาวะ1925 de Broglie แนะนำว่า เนื่องจากการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า (คลื่น) จัดแสดงคุณสมบัติเหมือนอนุภาค (โฟตอน) อนุภาคควรยังแสดงคุณสมบัติเหมือนคลื่น De Broglie เพิ่มเติมตั้งสมมติฐานว่าที่ แบบขนานการคำนวณโมเมนตัมของโฟตอน สามารถคำนวณความยาวคลื่นของอนุภาคให้มีโมเมนตัม p ลักษณะจาก P = h/λ และλคือ ความยาวคลื่นของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ตามสมมติฐานทวิภาคของคลื่น–อนุภาค de Broglie โมเมนตัมของอนุภาค (หรือคลื่น) สามารถเขียนเป็นopmvk == h (4.10)แม้ว่าบริสุทธิ์นึกในเวลา สมมติฐาน de Broglie เร็วยืนยันการรับข้อเท็จจริงที่ดีขึ้นของทวิภาคของอนุภาค–คลื่นของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าตามหลักฐานการทดลองรังสี blackbody อะตอมบอร์ และหนึ่งทวิภาคของคลื่น–อนุภาคนำสรุปว่า กลศาสตร์ดั้งเดิมถูกต้องอธิบายการกระทำของอนุภาคในระบบที่มีขนาดอะตอม ทดลองจุด quantization ของ observables (พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม ฯลฯ) และลักษณะเหมือนคลื่นแต่กำเนิดของเรื่องทั้งหมด(iv) วินสมการ:ใน 1926 วินก่อตั้งแบบแผนรวมที่ใช้อธิบายทั้งกล้องจุลทรรศน์ และ macroscopic โลกธาตุ กำหนด เรียกคลื่นกลศาสตร์ เรทตั้งสมมติฐานว่าความจริงของ quantization แรก สูงของพลังค์และลักษณะคลื่นเหมือนเรื่อง โดย de Broglie ได้รับการพัฒนาต่อ โดยวินเพื่อรักษาระบบอิเล็กตรอนในวัสดุผลึก มี postulates พื้นฐานห้าในกลศาสตร์คลื่นวินสำหรับระบบอนุภาคเดียว เหล่านี้จะแสดงดังนี้:(ก) มีฟังก์ชันคลื่น rtΨΨ () =, ที่ได้ = x, y, z ที่หนึ่งสามารถตรวจการทำงานแบบไดนามิกของระบบ และทั้งหมดที่ต้องการตัวแปรของระบบ หมายเหตุ ψ(r,t) ที่อาจจะปริมาณที่ซับซ้อน มีส่วนจริงและ imaginery มีฟังก์ชั่นของพื้นที่โดยทั่วไปพิกัด r = x, y, z และ เวลา ที(b) ψ(r,t) ฟังก์ชันคลื่นระบบและระบบที่ระบุข้อจำกัดถูกกำหนด โดยการแก้ขึ้นอยู่กับเวลาวินสมการ ซึ่งถูกกำหนด โดย() 2Vrmi−∂∇Ψ + Ψ 22 =− ∂h (

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เนื่องจากวงโคจรของอิเล็กตรอนจะถือว่ามีเสถียรภาพแรงสู่ศูนย์กลางในอิเล็กตรอนจะต้องสมดุลโดยประจุไฟฟ้าแรงที่น่าสนใจ ดังนั้นหนึ่งได้รับ 2224onomvqrr = πε ​​(4.4)
การแก้ EQS. (4.3) และ (4.4) อัตราผลตอบแทน
224 () oonnrmq = hπε (4.5)
ถัดไปพลังงานทั้งหมดของอิเล็กตรอน (En) มีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ (KE ) และพลังงานที่มีศักยภาพ (PE) พลังงานจลน์จะได้รับจาก 2211224..oonqKEmvr == πε (4.6)
และพลังงานที่มีศักยภาพจะได้รับจาก
24..onqPEr- = πε ​​(4.7)
โปรดทราบว่าพลังงานที่มีศักยภาพสำหรับการหายตัวไป ถิ่น→∞จาก EQS ((4.6) และ (4.7) พลังงานอิเล็กตรอนรวมจะได้รับจาก 2,124 .... nonqEPEKEr -. + = = πε ​​(4.8).. แทน rn กำหนดโดยสมการ (4.5) ลงในสมการ (4.8 ) อัตราผลตอบแทน 4213.624 () onomqEnn - = - = hπε (eV) (4.9) ในกรณีที่ n = 1, 2,3 ... สมการ (4.9) แสดงให้เห็นว่าพลังงานไอออไนซ์ของวงโคจรบอร์ครั้งแรกกับ n = 1 คือ E1 = -13.6 eV . โดยการเปลี่ยนพลังงานได้รับอนุญาตในอะตอมไฮโดรเจนเป็นที่คาดการณ์โดยรูปแบบของบอร์ที่พบในข้อตกลงที่ดีกับเส้นสเปกตรัม obsverved. แม้ว่ารูปแบบของบอร์ที่ได้รับจากสม. (4.9) ประสบความสำเร็จในการคาดการณ์สเปกตรัมไฮโดรเจนรุ่นล้มเหลวในการทำนายอะตอมที่ซับซ้อนมากขึ้นเช่น ฮีเลียมทฤษฎี Bohr เสริมแนวคิดของควอนพลังงานและความล้มเหลวของกลศาสตร์คลาสสิกในการจัดการกับระบบในระดับอะตอม. โดยควอนโมเมนตัมเชิงมุมในรูปแบบของบอร์อย่างชัดเจนขยายแนวคิดควอนตัมในการจัดการกับระบบขนาดอะตอม. (iii ) สำหรับคู่คลื่นอนุภาคใน1,925 de Broglie ชี้ให้เห็นว่าตั้งแต่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า (คลื่น) แสดงอนุภาคเหมือน (โฟตอน) คุณสมบัติอนุภาคควรแสดงคุณสมบัติเหมือนคลื่น de Broglie สมมติฐานเพิ่มเติมว่าขนานไปกับการคำนวณโมเมนตัมโฟตอนลักษณะความยาวคลื่นของอนุภาคที่ได้รับกับพีโมเมนตัมคำนวณได้จาก P = เอช / λและλคือความยาวคลื่นของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ขึ้นอยู่กับ de Broglie ของคลื่นอนุภาคสมมติฐานคู่โมเมนตัมของอนุภาค (หรือคลื่น) สามารถเขียนเป็นopmvk == h (4.10) แม้ว่าการคาดเดาบริสุทธิ์ในขณะที่สมมติฐาน de Broglie ได้รับการยืนยันอย่างรวดเร็วโดยความเป็นจริงที่ดีขึ้นของ คู่คลื่นอนุภาคของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า. ขึ้นอยู่กับหลักฐานการทดลองของรังสีดำ, อะตอม Bohr และคลื่นอนุภาค duality- หนึ่งจะนำไปสู่ข้อสรุปที่ว่ากลศาสตร์คลาสสิกไม่ถูกต้องอธิบายการกระทำของอนุภาคในระบบที่มีอะตอม ขนาด การทดลองชี้ไปที่ควอนของ observables (ที่พลังงานโมเมนตัมเชิงมุม ฯลฯ ) และลักษณะเหมือนคลื่นโดยธรรมชาติของทุกเรื่อง. (iv) Schrödingerสมการ: ใน 1,926 Schrödingerจัดตั้งโครงการแบบครบวงจรที่ถูกต้องสำหรับการอธิบายทั้งกล้องจุลทรรศน์และจักรวาลเปล่า . สูตรที่เรียกว่ากลศาสตร์คลื่นซึ่งจัดตั้งขึ้นความคิดทางกายภาพของควอนขั้นสูงเป็นครั้งแรกโดยพลังค์และธรรมชาติเหมือนคลื่นของเรื่องโดยตั้งสมมติฐาน de Broglie ได้รับการพัฒนาต่อมาโดยSchrödingerในการรักษาระบบอิเล็กตรอนในวัสดุผลึก มีห้าสมมุติฐานพื้นฐานในกลศาสตร์คลื่นSchrödingerสำหรับระบบอนุภาคเดียว เหล่านี้เป็นภาพที่ต่อไปนี้(ก) มีฟังก์ชั่นที่มีอยู่คลื่น () = rtΨΨที่ r = x, y, z จากที่หนึ่งที่สามารถตรวจสอบพฤติกรรมแบบไดนามิกของระบบและตัวแปรระบบทั้งหมดที่ต้องการ โปรดทราบว่าψ (R, t) อาจจะเป็นปริมาณที่ซับซ้อนที่มีส่วนจริงและ imaginery อยู่ในทั่วไปหน้าที่ของพิกัดพื้นที่ r = x, y, z, และเวลา t. (ข) ฟังก์ชั่นคลื่นψ (R , t) สำหรับระบบที่กำหนดและข้อ จำกัด ของระบบที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยการแก้ครั้งขึ้นอยู่กับสมการSchrödingerซึ่งจะได้รับจาก 22 () 2Vrmi-∂∇ΨΨ + = - ∂h (

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เนื่องจากอิเล็กตรอนโคจรสมมติคงที่แรงศูนย์กลางที่อิเล็กตรอนจะต้องสมดุล โดยประจุไฟฟ้ามีเสน่ห์แรง ดังนั้นหนึ่งได้รับ 2224onomvqrr = πε ( 4.4 )
แก้ EQS ( 4.3 ) และ ( 4.4 ) ผลผลิต
224() oonnrmq = H πε ( 4.5 )
ต่อไป พลังงานของอิเล็กตรอน ( en ) จะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ ( เช่า ) ( พละ ) พลังงานจลน์จะได้รับโดย 2211224 . . . . . . .oonqkemvr = = πε ( 4.6 )
, และพลังงานที่มีศักยภาพจะได้รับโดย
24 . . . . . . . onqper − = πε ( 4.7 )
ทราบว่าศักยภาพพลังงานหายไปสำหรับ ยาง→∞
จาก EQS ( 4.6 ) และ ( 4.7 ) รวมอิเล็กตรอนพลังงานให้ . . . . . . . 2124 nonqepeker − = = πε ( 4.8 )
แทน rn ให้อีคิว ( 4.5 ) อีคิว ( 4.8 ) ผลผลิต 4213. 624() onomqenn −− = H = πε ( EV ) ( 4.9 )
ที่ n = 1 , 2 , 3 . . . . . . . สมการ ( 4 )9 ) แสดงให้เห็นว่า พลังงานไอออไนเซชันแรกของโบร์วงโคจร n = 1 คือ E1 = - 1 EV อนุญาตการเปลี่ยนพลังงานในอะตอมไฮโดรเจนตามการคาดการณ์โดยแบบจำลองของรัทเทอร์ฟอร์ดพบในข้อตกลงที่ดีกับ obsverved สเปกตรัมเส้น แม้ว่า บอร์นางแบบให้อีคิว ( 4.9 ) เรียบร้อยแล้วทำนายไฮโดรเจน spectra , รูปแบบล้มเหลวที่จะทำนายอะตอมที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ฮีเลียมทฤษฎีของโบร์เสริมแนวคิดของ quantization พลังงานและความล้มเหลวของกลศาสตร์คลาสสิกในการจัดการกับระบบในระดับอะตอม
quantization ของโมเมนตัมเชิงมุมในแบบจำลองของโบร์ชัดเจนขยายแนวคิดควอนตัมในการจัดการกับระบบของขนาดอะตอม
( 3 ) คลื่นอนุภาคเทวภาวะ
1925 เดอ เบรย แนะนำตั้งแต่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ( คลื่น ) มีอนุภาค ( โฟตอน ) คุณสมบัติของอนุภาคก็แสดงสมบัติของคลื่น เช่น . เดอ เบรย เพิ่มเติมความขนานโฟตอนโมเมนตัมการคำนวณแสงลักษณะของอนุภาคโมเมนตัมให้กับ P อาจจะคำนวณจาก P / λ = H ,และ λคือความยาวคลื่นของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ตาม เดอ เบรยคลื่นอนุภาคเทวภาวะสมมติฐาน โมเมนตัมของอนุภาค ( หรือคลื่น ) สามารถเขียนได้เป็น opmvk = =
H ( 4.10 )
ถึงแม้ว่าการคาดเดาล้วนๆ ในเวลาที่ เดอ เบรยสมมติฐานได้รวดเร็ว โดยจัดตั้งขึ้นรวมทั้งความเป็นจริงของคลื่นอนุภาคเทวภาวะ
ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าตามหลักฐานการทดลองรังสี blackbody , อะตอมโบร์และคลื่นอนุภาคเทวภาวะ - คือสรุปได้ว่ากลศาสตร์คลาสสิกไม่ถูกต้องอธิบายการเคลื่อนไหวของอนุภาคในระบบที่มีขนาดอะตอม การทดลองชี้ไปที่ quantization ของปฏิบัติ ( พลังงานโมเมนตัมเชิงมุม ฯลฯ ) และโดยธรรมชาติของคลื่นแบบธรรมชาติ
เรื่องทั้งหมด( 4 ) สมการของชเรอดิงเงอร์ :
ใน 1926 ของชเรอดิงเงอร์ก่อตั้งรวมโครงการถูกต้องอธิบายทั้งทางกล้องจุลทรรศน์และจักรวาล สูตร เรียกว่า กลศาสตร์คลื่น รวมเรื่องทางกายภาพของ quantization แรกที่ทันสมัยโดยพลังค์และคลื่นเหมือนธรรมชาติของเรื่องโดย เดอ เบรยสมมติฐาน ,ต่อมาได้พัฒนาโดยของชเรอดิงเงอร์ถือว่าอิเล็กตรอนระบบวัสดุผลึก มีห้าขั้นพื้นฐานในสมมติฐานของชเรอดิงเงอร์สำหรับระบบอนุภาคกลศาสตร์คลื่นเดียว เหล่านี้จะอธิบายดังนี้ :
( a ) มีฟังก์ชันคลื่น ( ) RT ΨΨ = , r = x , y , z , จากที่หนึ่งสามารถวินิจฉัยพฤติกรรมพลวัตของระบบและระบบที่ต้องการตัวแปร