ing in the seventeenth century with

ing in the seventeenth century with Fermat’s assertions of 1640 about the
numbers represented by x
2 + y
2
. In the next century, Euler gave proofs of
these and some similar assertions about other simple binary quadratics, and
although these proofs had some gaps, they contributed greatly to setting
the theory on a firm foundation.
Lagrange started the theory of universal quadratic forms in 1770 by
proving his celebrated Four Squares Theorem, which in current language is
expressed by saying that the form x
2+y
2+z
2+t
2
is universal. The eighteenth
century was closed by a considerably deeper statement – Legendre’s Three
Squares Theorem of 1798; this found exactly which numbers needed all four
squares. In his Theorie des Nombres of 1830, Legendre also created a very
general theory of binary quadratics.
The new century was opened by Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae of
1801, which brought that theory to essentially its modern state. Indeed,
when Neil Sloane and I wanted to summarize the classification theory of
binary forms for one of our books [3], we found that the only Number Theory
textbook in the Cambridge Mathematical Library that handled every case
was still the Disquisitiones! Gauss’s initial exploration of ternary quadratics
was continued by his great disciple Eisenstein, while Dirichlet started the
analytic theory by his class number formula of 1839.
As the nineteenth century wore on, other investigators, notably H. J. S.
Smith and Hermann Minkowski, explored the application of Gauss’s concept
of the genus to higher-dimensional forms, and introduced some invariants
for the genus from which in this century Hasse was able to obtain a complete

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ing ในศตวรรษ seventeenth ด้วย assertions ของแฟร์มาของ 1640 เกี่ยวกับการหมายเลขที่แทน ด้วย x2 + y2. ในศตวรรษถัดไป ออยเลอร์ให้หลักฐานของเหล่านี้และบาง assertions คล้ายเกี่ยวกับ quadratics ไบนารีอื่นง่าย และแม้ว่าหลักฐานเหล่านี้มีช่องว่างบางอย่าง พวกเขาส่วนมากการตั้งค่าทฤษฎีบนพื้นฐานของบริษัทโรงแรมลากรองจ์เริ่มทฤษฎีรูปแบบกำลังสองสากล 1770 โดยซึ่งในปัจจุบันภาษาของเขาเฉลิมฉลองสี่สี่เหลี่ยมทฤษฎีบทพิสูจน์ เป็นแสดง ด้วยการพูดที่แบบ x2 + y2 + z2 + t2เป็นสากล ราชที่เซ็นจูรี่ถูกปิด โดยคำสั่งที่ลึกมาก – เลอฌ็องดร์ของสามทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมของ 1798 นี้พบว่าหมายเลขที่จำเป็นทั้งหมด 4สี่เหลี่ยม เขา Theorie เด Nombres ของ 1830 เลอฌ็องดร์ยังสร้างมากทฤษฎีทั่วไปของไบนารี quadraticsเปิด โดยเกาส์ของ Disquisitiones Arithmeticae ของศตวรรษใหม่1801 ซึ่งนำทฤษฎีนั้นไปเป็นของรัฐสมัยใหม่ แน่นอนเมื่อนีลสโลนและต้องการสรุปทฤษฎีการจัดประเภทของฟอร์มไบนารีสำหรับหนังสือของเรา [3] อย่างใดอย่างหนึ่ง เราพบว่าทฤษฎีจำนวนเฉพาะหนังสือในห้องสมุดคณิตศาสตร์เคมบริดจ์ที่จัดการทุกกรณีคือยังคง Disquisitiones สำรวจเบื้องต้นของเกาส์ quadratics สามต่อ ด้วยของเขาดีสาวกไอเซนสไตน์ ขณะเริ่มต้น Dirichletทฤษฎีคู่ โดยพระสูตรหมายเลขชั้นของ 1839เป็นศตวรรษสวมบน อื่น ๆ นักสืบ ยวด H. J. S.สมิธและแฮร์มันน์มินคอฟสกี อุดมการประยุกต์แนวคิดของเกาส์ของตระกูลนี้ไปแบบฟอร์มมิติสูง และนำบาง invariantsสำหรับตระกูลนี้ซึ่งในศตวรรษนี้ Hasse ได้รับการเสร็จสมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ไอเอ็นจีในศตวรรษที่สิบเจ็ดกับการยืนยันของแฟร์มาต์ของ 1640 เกี่ยวกับ
ตัวเลขแทนด้วย x
2 + y ที่
2
ในศตวรรษหน้าออยเลอร์ให้พิสูจน์
เหล่านี้และบางส่วนยืนยันคล้ายกันเกี่ยวกับ Quadratics ไบนารีอื่น ๆ ง่ายและ
แม้ว่าหลักฐานเหล่านี้มีช่องว่างบางพวกเขามีส่วนอย่างมากในการตั้ง
ทฤษฎีบนรากฐานที่มั่นคง.
Lagrange เริ่มทฤษฎีของรูปแบบสมการกำลังสองในสากล 1770 โดย
พิสูจน์การเฉลิมฉลองของเขาสี่แควร์ทฤษฎีบทซึ่งในภาษาปัจจุบัน
แสดงโดยบอกว่ารูปแบบ x
2 + y ที่
2 + ซี
ที 2 +
2
เป็นสากล สิบแปด
ศตวรรษที่ถูกปิดโดยคำสั่งที่ลึกมาก - ช็สาม
สี่เหลี่ยมทฤษฎีบท 1798; นี้พบว่าตัวเลขที่จำเป็นทั้งสี่
สี่เหลี่ยม ใน Theorie des เสียงของเขาในปี ค.ศ. 1830 Legendre ยังสร้างมาก
ทฤษฎีทั่วไปของ Quadratics ไบนารี.
ศตวรรษใหม่ถูกเปิดออกโดยของเกาส์ Disquisitiones Arithmeticae ของ
1801 ซึ่งนำทฤษฎีที่เป็นหลักของรัฐสมัยใหม่ อันที่จริง
เมื่อนีลโลนและฉันต้องการที่จะสรุปทฤษฎีการจำแนกประเภทของ
รูปแบบไบนารีสำหรับหนึ่งในหนังสือของเรา [3] เราพบว่าจำนวนเพียงทฤษฎี
ตำราในห้องสมุดคณิตศาสตร์เคมบริดจ์ที่จัดการทุกกรณี
ก็ยังคง Disquisitiones! การสำรวจครั้งแรกของเกาส์ของ Quadratics ternary
ต่อโดยศิษย์ที่ดีของเขา Eisenstein ขณะ Dirichlet เริ่ม
ทฤษฎีการวิเคราะห์จากจำนวนชั้นเรียนของเขาสูตร 1839
ในฐานะที่เป็นศตวรรษที่สิบเก้าสวมนักวิจัยอื่น ๆ สะดุดตา HJS
สมิ ธ และแฮร์มันน์คอฟสกีสำรวจการประยุกต์ใช้ของเกาส์ แนวคิด
ของพืชและสัตว์ในรูปแบบที่สูงขึ้นมิติและแนะนำค่าคงที่บาง
สำหรับประเภทจากการที่ในศตวรรษนี้ Hasse ก็สามารถที่จะได้รับที่สมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ไอเอ็นจีในศตวรรษที่สิบเจ็ดกับ Fermat assertions จาก 1 , 640 เกี่ยวกับ
ตัวเลขแทนด้วย x
2 y
2

ในศตวรรษต่อมา ออยเลอร์ให้หลักฐาน
เหล่านี้ และบางส่วนคล้ายกันยืนยันเกี่ยวกับสินค้ากรณีศึกษาไบนารีอื่น ๆง่าย ๆและ
ถึงแม้ว่าปรู๊ฟเหล่านี้มีช่องว่าง พวกเขามีส่วนร่วมอย่างมากกับการตั้งค่าในทฤษฎีรากฐาน
.
Lagrange เริ่มทฤษฎีรูปแบบกำลังสองสากลในปี 1770 โดย
พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาฉลองสี่เหลี่ยม ซึ่งในภาษาปัจจุบัน
แสดง โดยบอกว่า รูป x
2 y
2 z
2 t
2
ที่เป็นสากล ในศตวรรษที่สิบแปด
ถูกปิดโดยงบมากลึกเพื่อ legendre 3
สี่เหลี่ยมทฤษฎีบทของ 1798 ; นี้พบว่าเลขซึ่งต้องการทั้งหมดสี่
สี่เหลี่ยมในทฤษฎีของเดส nombres 1830 legendre ยังสร้างมาก
ทั่วไปทฤษฎีเกี่ยวกับสมการ 2 ชั้นแบบไบนารี
ศตวรรษใหม่ถูกเปิดโดยเกาส์เป็น disquisitiones arithmeticae ของ
1 ซึ่งได้นำทฤษฎีที่เป็นหลักรัฐสมัยใหม่ของ แน่นอน
เมื่อนีลสโลนและฉันต้องการที่จะสรุปการจำแนกทฤษฎี
รูปแบบไบนารีสำหรับหนึ่งในหนังสือของเรา [ 3 ] พบว่าทฤษฎี
เลขเดียวตำราในเคมบริดจ์คณิตศาสตร์ห้องสมุด ที่ทำทุกคดี
ยัง disquisitiones ! เกาส์ก็เริ่มต้นสำรวจประกอบไปด้วยสินค้ากรณีศึกษา
เป็นอย่างต่อเนื่องโดยลูกศิษย์ของเขามากไอเซนสไตน์ ในขณะที่ดีริคเลตเริ่ม
ทฤษฎีวิเคราะห์โดยคลาสเบอร์สูตร 1839 .
เป็นศตวรรษที่สิบเก้าสวมนักวิจัยอื่น ๆโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอช. เจ. เอส.
สมิ ธและแฮร์มันน์ มิงคอฟสกี ,โดยการประยุกต์ใช้แนวคิดของเกาส์
สกุลสูงกว่ามิติแบบฟอร์มและแนะนำบางผลยืนยง
สำหรับสกุลซึ่งในศตวรรษนี้ Hasse ก็สามารถที่จะได้รับสมบูรณ์