Biminimal structure spaces 705 3 Bi

Biminimal structure spaces 705

3 Biminimal Structure Spaces

In this section, we introduce the concept of biminimal structure spaces and
study some properties of m1 m2 -closed sets and m1 m2 -open sets in biminimal
X X X X
structure spaces.

Definition 3.1. Let X be a nonempty set and m1 , m2 be minimal structures
X X
on X . A triple (X, m1 , m2 ) is called a biminimal structure space (briefly bim-
X X
space).

Let (X, m1 , m2 ) be a biminimal structure space and A be a subset of
X X
X . The mX -closure and mX-interior of A with respect to mi are denote by
X
mCl (A) and mInt (A), respectively, for i = 1, 2.
i i

Definition 3.2. A subset A of a biminimal structure space (X, m1 , m2 ) is
X X
called m1 m2 -closed if mCl (mCl (A)) = A. The complement of m1 m2 -
X X 1 2 X X
closed set is called m1 m2 -open.
X X

Example 3.3. Let X = {a, b}. Define m-structures m1 and m2 on X as
X X
follows: m1 = {∅, {a}, X} and m2 = {∅, {a}, X}. Then {b} is m1 m2 -closed.
X X X X

Let (X, m1 , m2 ) be a biminimal structure space and A be a subset of X .
X X
Then A is m1 m2 -closed if and only if mCl (A) = A and mCl (A) = A.
X X 1 2

The following statement is evident:

Proposition 3.4. Let m1 and m2 be m-structures on X satisfying prop-
X X
erty B. Then A is a m1 m2 -closed subset of a biminimal structure space
X X
(X, m1 , m2 ) if and only if A is both m1 -closed and m2 -closed.
X X X X

Proposition 3.5. Let (X, m1 , m2 ) be a biminimal structure space. If A and
X X
B are m1 m2 -closed subsets of (X, m1 , m2 ), then A ∩ B is m1 m2 -closed.
X X X X X X

Proof. Let A and B be m1 m2 -closed. Then mCl (mCl (A)) = A and mCl (mCl (A)) =
X X 1 2 1 2

A. Since A ∩ B ⊆ A and A ∩ B ⊆ B, mCl (mCl (A ∩ B)) ⊆ mCl (mCl (A))
1 2 1 2

and mCl (mCl (A∩B)) ⊆ mCl (mCl (B)). Therefore, mCl (mCl (A∩B)) ⊆
1 2 1 2 1 2

mCl (mCl (A))∩mCl (mCl (B)) = A∩B. But A∩B ⊆ mCl (mCl (A∩B)).
1 2 1 2 1 2
Consequently, mCl (mCl (A∩B)) = A∩B. Hence, A∩B is m1 m2 -closed.
1 2 X X

Remark 1. The union of two m1 m2 -closed set is not a m1 m2 -closed set in
X X X X
general as can be seen from the following example.

Example 3.6. Let X = {1, 2, 3}. Define m-structures m1 and m2 on X as
X X
follows: m1 = {∅, {1, 3}, {2, 3}, X} and m2 = {∅, {1}, {2}, {1, 3}, {2, 3}, X}.
X X
Then {1} and {2} are m1 m2 -closed but {1} ∪ {2} = {1, 2} is not m1 m2 -
X X X X
closed.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ช่องว่างของโครงสร้าง Biminimal 705 ช่องว่างของโครงสร้าง Biminimal 3 ในส่วนนี้ เรานำแนวคิดของช่องว่างของโครงสร้าง biminimal และ ศึกษาบางคุณสมบัติของ m1 m2-ปิดชุดและ m1 m2-เปิดชุด biminimal X X X X ช่องว่างของโครงสร้าง Definition 3.1 ให้ X เป็นชุด nonempty และ m1, m2 จะโครงสร้างน้อยที่สุด X X บน X ทริปเปิ้ล (X, m1, m2) คือช่องว่างโครงสร้าง (briefly bim-biminimal X X พื้นที่) ให้ (X, m1, m2) เป็นช่องว่างของโครงสร้าง biminimal และ A เป็นเซตย่อยของ X X X MX-ปิดและ mX-ภายในของ A กับ mi แสดงโดย X mCl (A) และมินท์ (A), ตามลำดับ หา = 1, 2 ฉันฉัน Definition 3.2 เป็นเซตย่อย A ของช่องว่างโครงสร้าง biminimal (X, m1, m2) X X เรียกว่า m1 m2-ถ้าปิด mCl (mCl (A)) = A. ส่วนเติมเต็มของ m1 m2- X X 1 2 X X คือ m1 m2 ชุดปิด-เปิด X X ตัวอย่างที่ 3.3 ให้ X = {a, b } Define โครงสร้าง m m1 และ m2 ใน X เป็น X X ดังต่อไปนี้: m1 = {∅, {a }, X } และ m2 = {∅, {a }, X } แล้ว {b } คือ m1 m2-ปิด X X X X ให้ (X, m1, m2) เป็นช่องว่างของโครงสร้าง biminimal และ A เป็นเซตย่อยของ X X X แล้วคือ m1 m2-ถ้าปิดและเฉพาะ mCl (A) = A และ mCl (A) = A. X X 1 2 คำสั่งต่อไปนี้จะปรากฏชัด: ข้อเสนอที่ 3.4 ให้ m1 และ m2 เป็น m-โครงสร้างบน X ภิรมย์ prop - X X erty B. แล้วคือ m1 m2-ปิดของช่องว่างของโครงสร้าง biminimal X X (X, m1, m2) ถ้าและเดียวถ้าเป็นทั้ง m1-ปิด และ m2-ปิด X X X X ข้อเสนอที่ 3.5 ให้ (X, m1, m2) เป็นช่องว่างของโครงสร้าง biminimal ถ้า A และ X X B คือ m1 m2-ปิดชุดย่อยของ (X, m1, m2), แล้ว∩ B m1 m2-ปิด X X X X X X หลักฐานการ ให้ A และ B เป็น m1 m2-ปิด แล้ว mCl (mCl (A)) = A และ mCl (mCl (A)) = X X 1 2 1 2 A. เนื่องจาก A ∩ B ⊆ A และ⊆∩ B B, mCl mCl (mCl (การ∩ B)) ⊆ (mCl (A)) 1 2 1 2 และ mCl mCl (mCl (A∩B)) ⊆ (mCl (B)) ดังนั้น ⊆ mCl (mCl (A∩B)) 1 2 1 2 1 2 mCl (mCl (A)) ∩mCl (mCl (B)) = A∩B แต่ A∩B ⊆ mCl (mCl (A∩B)) 1 2 1 2 1 2 ดังนั้น mCl (mCl (A∩B)) = A∩B ดังนั้น A∩B คือ m1 m2-ปิด 1 2 X X หมายเหตุ 1 ยูเนียนของสอง m1 m2-ชุดปิดไม่ m1 m2-ปิดชุดใน X X X X ทั่วไปสามารถเห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 3.6 ให้ X = {1, 2, 3 } Define โครงสร้าง m m1 และ m2 ใน X เป็น X X ดังต่อไปนี้: m1 = {∅, {1, 3 }, {2, 3 }, X } และ m2 = {∅, { 1 }, { 2 }, {1, 3 }, {2, 3 }, X } X X แล้ว {1} {2} อยู่ m1 m2-ปิดแต่ {1} ∪ {2} = {1, 2 } ไม่ m1 m2 - X X X X ปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ช่องว่างโครงสร้าง Biminimal 705 3 Biminimal Spaces โครงสร้างในส่วนนี้เราจะนำเสนอแนวคิดของพื้นที่โครงสร้าง biminimal และศึกษาคุณสมบัติบางส่วนของชุด -closed m1 m2 และชุด m1 m2 เปิดใน biminimal XXXX พื้นที่โครงสร้าง. De ไฟ nition 3.1 ให้ X เป็นชุดว่างและ m1, m2 เป็นโครงสร้างที่น้อยที่สุดXX X บน สาม (x, m1, m2) ที่เรียกว่าพื้นที่โครงสร้าง biminimal (บรีชั้นปี bim- XX พื้นที่). ให้ (x, m1, m2) จะเป็นพื้นที่โครงสร้าง biminimal และเป็นส่วนหนึ่งของXX X -closure mX และ MX-การตกแต่งภายในของที่เกี่ยวกับไมล์จะแสดงโดยX MCL (A) และมิ้นท์ (A) ตามลำดับสำหรับ i = 1, 2 ii De ไฟ nition 3.2 เซตของพื้นที่โครงสร้าง biminimal (x, m1, m2) เป็นXX เรียกว่า m1 m2 -closed ถ้า MCL (MCL (A)) = A. สมบูรณ์ของ m1 m2 - XX XX 1 2 ปิดการตั้งค่าที่เรียกว่า m1 m2 - เปิด. XX ตัวอย่าง 3.3 ให้ X = {ข} De สายตะวันออกเฉียงเหนือ m1 เมตรโครงสร้างและ m2 ใน X เป็นXX ดังนี้ m1 = {∅, {}} X และ m2 = {∅, {}} X จากนั้น {ข} คือ m1 m2 -closed. XXXX ให้ (x, m1, m2) จะเป็นพื้นที่โครงสร้าง biminimal และเป็นส่วนหนึ่งของ X. XX แล้วคือ m1 m2 -closed ถ้าหาก MCL (A) = และ MCL (A) = เอXX 1 2 คำสั่งต่อไปจะเห็นได้: 3.4 โจทย์ ให้ m1 และ m2 เป็นเมตรโครงสร้างในความพึงพอใจของ X prop- XX erty บีนั้นเป็นชุดย่อย m1 m2 -closed ของพื้นที่โครงสร้าง biminimal XX (x, m1, m2) ถ้าหากเป็นทั้ง M1 -closed และ m2 -closed. XXXX โจทย์ 3.5 ให้ (x, m1, m2) มีพื้นที่โครงสร้าง biminimal ถ้าและXX B เป็นส่วนย่อย m1 m2 -closed ของ (x, m1, m2) แล้ว∩ B คือ m1 m2 -closed. XXXXXX หลักฐาน ให้ A และ B เป็น m1 m2 -closed จากนั้น MCL (MCL (A)) = และ MCL (MCL (A)) = XX 1 2 1 2 เอ ตั้งแต่∩ B ⊆และ∩ B ⊆ B, MCL (MCL (∩ B)) ⊆ MCL (MCL (A)) 1 2 1 2 และ MCL (MCL (A∩B)) ⊆ MCL (MCL (B )) ดังนั้น MCL (MCL (A∩B)) ⊆ 1 2 1 2 1 2 MCL (MCL (A)) ∩mCl (MCL (B)) = A∩B แต่A∩B⊆ MCL (MCL (A∩B)). 1 2 1 2 1 2 ดังนั้น MCL (MCL (A∩B)) = A∩B ดังนั้นA∩Bคือ m1 m2 -closed. 1 2 XX หมายเหตุ 1. สหภาพของสอง m1 m2 -closed ตั้งไม่ได้ m1 m2 -closed ตั้งอยู่ในXXXX ทั่วไปสามารถเห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้. ตัวอย่าง 3.6 ให้ X = {1, 2, 3} De สายตะวันออกเฉียงเหนือ m1 เมตรโครงสร้างและ m2 ใน X เป็นXX ดังนี้ m1 = {∅, {1, 3}, {2, 3} X} และ m2 = {∅, {1}, {2}, {1, 3 }, {2, 3} X}. XX แล้ว {1} และ {2} มี m1 m2 -closed แต่ {1} ∪ {2} = {1, 2} ไม่ได้ m1 m2 - XXXX ปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

biminimal โครงสร้างเป็น 705

3 biminimal โครงสร้างเป็น

ในส่วนนี้เราแนะนำแนวคิดของการเป็น biminimal โครงสร้างและศึกษาสมบัติบางประการของ M1 M2
- ชุด ปิด - เปิด และ M1 M2 ชุดใน biminimal
x x x x
โครงสร้างเป็น .

เดอ จึง nition 3.1 . ให้ X เป็นเซตและเซต M1 , M2 จะน้อยที่สุดโครงสร้าง
x x
บน X . สาม ( M1 Xตารางเมตร ) เรียกว่าพื้นที่โครงสร้าง biminimal ( บรีfl Y BIM -
x x
พื้นที่ )

ให้ ( X , M1 , M2 ) เป็นโครงสร้าง biminimal พื้นที่และเป็นเซตย่อยของ
x x
x . ส่วน MX - ปิดและตกแต่งภายใน MX ของเกี่ยวกับมิถูกแสดงโดย
x
mcl ( ) และสะระแหน่ ( ) ตามลำดับ สำหรับฉัน = 1 , 2
ผม

เดอ จึง nition 3.2 . เป็นเซตย่อยของพื้นที่โครงสร้าง biminimal ( X , M1 , M2 x

X )เรียกว่า M1 M2 - ปิด ( ถ้า mcl mcl ( a ) ) = . ส่วนเติมเต็มของ M1 M2 -
x x 1 x 2 x
ปิดชุดเรียกว่า M1 M2 - เปิด
x x

ตัวอย่าง 3.3 . ให้ x = { a , b } เดอ จึง m-structures M1 และ M2 NE ใน X เป็น
x x
1 M1 = { ∅ { A } , X } และ M2 = { ∅ { เป็น } , X } แล้ว { B } คือ M1 M2 - ปิด
x x x x

ให้ ( X , M1 , M2 ) เป็นโครงสร้าง biminimal พื้นที่และเป็นเซตย่อยของ x . x

xแล้วคือ M1 M2 - ปิด ถ้าและเพียงถ้า mcl mcl และ ( ) = ( ) = a
x x 1 2

แถลงการณ์ที่เห็นได้ชัด :

ข้อเสนอ 3.4 . ให้ M1 และ M2 เป็น m-structures ใน X ภิรมย์พร็อพ -
x x
erty พ. แล้วเป็น M1 M2 - ปิดเซตย่อยของ biminimal โครงสร้างอวกาศ
x x
( X , M1 , M2 ) ถ้าและเพียงถ้าทั้ง M1 และ M2 - ปิด - ปิด
x x x x

) 3.5 . ปล่อย ( M1 Xตารางเมตร ) พื้นที่โครงสร้าง biminimal . ถ้า x และ x

b เป็น M1 M2 - ปิดเซตย่อยของ ( x , M1 , M2 ) แล้ว∩ B คือ M1 M2 - ปิด
x x x x x x

หลักฐาน ให้ A และ B เป็น M1 M2 - ปิด แล้ว ( mcl mcl ( a ) และ ( mcl mcl = ( ) =
x x 1 2 1 2

. ตั้งแต่∩ B ⊆ A และ B ( ∩⊆ B , mcl mcl ( ∩ B ) ) ( ⊆ mcl mcl ( ) )
1 2 1 2

( ( ∩ mcl mcl และ b ) ) ( ⊆ mcl mcl ( B ) ดังนั้น ( mcl mcl ( ∩ B ) ⊆
1 2 1 2 1 2

( mcl mcl ( ) ( ) ∩ mcl mcl ( B ) = ∩ B แต่ B ( ∩⊆ mcl mcl ( ∩ B ) )
1 2 1 2 1 2
( ดังนั้น mcl mcl ( ∩ B ) = ∩พ. ดังนั้น ∩ B คือ M1 M2 - ปิด
1 x 2 x

หมายเหตุ 1 . สหภาพ 2 M1 M2 - เซตปิดไม่ใช่ M1 M2 - ปิดการตั้งค่าใน
x x x x
ทั่วไป โดยจะเห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 3.6 ให้ x = { 1 , 2 , 3 } เดอ จึง m-structures M1 และ M2 NE ใน X เป็น X

xดังนี้ : M1 = { ∅ { 1 , 3 } , { 2 } , X } และ { ∅ m2 = { 1 } , { 2 } { 3 } , { 1 , 2 , 3 } , X }

แล้ว x x { 1 } { 2 } M1 M2 - ปิด แต่∪ { 1 } { 2 } = { 1 , 2 } ไม่ใช่ M1 M2 -
x x x x
ปิด