Arithmetic[edit source | editbeta]T

Arithmetic[edit source | editbeta]

The Peano axioms can be augmented with the operations of addition and multiplication and the usual total (linear) ordering on N. The respective functions and relations are constructed in second-order logic, and are shown to be unique using the Peano axioms.
Addition[edit source | editbeta]
Addition is the function + : N × N → N (written in the usual infix notation, mapping two elements of N to another element of N), defined recursively as:
egin{align}
a + 0 &= a ,\
a + S (b) &= S (a + b).
end{align}
For example,
a + 1 = a + S(0) = S(a + 0) = S(a).
The structure (N, +) is a commutative semigroup with identity element 0. (N, +) is also a cancellative magma, and thus embeddable in a group. The smallest group embedding N is the integers.
Multiplication[edit source | editbeta]
Given addition, multiplication is the function · : N × N → N defined recursively as:
egin{align}
a cdot 0 &= 0, \
a cdot S (b) &= a + (a cdot b).
end{align}
It is easy to see that setting b equal to 0 yields the multiplicative identity:
a · 1 = a · S(0) = a + (a · 0) = a + 0 = a
Moreover, multiplication distributes over addition:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Thus, (N, +, 0, ·, 1) is a commutative semiring.
Inequalities[edit source | editbeta]
The usual total order relation ≤ : N × N can be defined as follows, assuming 0 is a natural number:
For all a, b ∈ N, a ≤ b if and only if there exists some c ∈ N such that a + c = b.
This relation is stable under addition and multiplication: for a, b, c in N , if a ≤ b, then:
a + c ≤ b + c, and
a · c ≤ b · c.
Thus, the structure (N, +, ·, 1, 0, ≤) is an ordered semiring; because there is no natural number between 0 and 1, it is a discrete ordered semiring. The axiom of induction is sometimes stated in the following strong form, making use of the ≤ order:
For any predicate φ, if
φ(0) is true, and
for every n, k ∈ N, if k ≤ n implies φ(k) is true, then φ(S(n)) is true,
then for every n ∈ N, φ(n) is true.
This form of the induction axiom is a simple consequence of the standard formulation, but is often better suited for reasoning about the ≤ order. For example, to show that the naturals are well-ordered—every nonempty subset of N has a least element—one can reason as follows. Let a nonempty X ⊆ N be given and assume X has no least element.
Because 0 is the least element of N, it must be that 0 ∉ X.
For any n ∈ N, suppose for every k ≤ n, k ∉ X. Then S(n) ∉ X, for otherwise it would be the least element of X.
Thus, by the strong induction principle, for every n ∈ N, n ∉ X. Thus, X ∩ N = ∅, which contradicts X being a nonempty subset of N. Thus X has a least element

Arithmetic[edit source | editbeta]

The Peano axioms can be augmented with the operations of addition and multiplication and the usual total (linear) ordering on N. The respective functions and relations are constructed in second-order logic, and are shown to be unique using the Peano axioms.
Addition[edit source | editbeta]
Addition is the function + : N × N → N (written in the usual infix notation, mapping two elements of N to another element of N), defined recursively as:
egin{align}
a + 0 &= a ,\
a + S (b) &= S (a + b).
end{align}
For example,
a + 1 = a + S(0) = S(a + 0) = S(a).
The structure (N, +) is a commutative semigroup with identity element 0. (N, +) is also a cancellative magma, and thus embeddable in a group. The smallest group embedding N is the integers.
Multiplication[edit source | editbeta]
Given addition, multiplication is the function · : N × N → N defined recursively as:
egin{align}
a cdot 0 &= 0, \
a cdot S (b) &= a + (a cdot b).
end{align}
It is easy to see that setting b equal to 0 yields the multiplicative identity:
a · 1 = a · S(0) = a + (a · 0) = a + 0 = a
Moreover, multiplication distributes over addition:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Thus, (N, +, 0, ·, 1) is a commutative semiring.
Inequalities[edit source | editbeta]
The usual total order relation ≤ : N × N can be defined as follows, assuming 0 is a natural number:
For all a, b ∈ N, a ≤ b if and only if there exists some c ∈ N such that a + c = b.
This relation is stable under addition and multiplication: for a, b, c in N , if a ≤ b, then:
a + c ≤ b + c, and
a · c ≤ b · c.
Thus, the structure (N, +, ·, 1, 0, ≤) is an ordered semiring; because there is no natural number between 0 and 1, it is a discrete ordered semiring. The axiom of induction is sometimes stated in the following strong form, making use of the ≤ order:
For any predicate φ, if
φ(0) is true, and
for every n, k ∈ N, if k ≤ n implies φ(k) is true, then φ(S(n)) is true,
then for every n ∈ N, φ(n) is true.
This form of the induction axiom is a simple consequence of the standard formulation, but is often better suited for reasoning about the ≤ order. For example, to show that the naturals are well-ordered—every nonempty subset of N has a least element—one can reason as follows. Let a nonempty X ⊆ N be given and assume X has no least element.
Because 0 is the least element of N, it must be that 0 ∉ X.
For any n ∈ N, suppose for every k ≤ n, k ∉ X. Then S(n) ∉ X, for otherwise it would be the least element of X.
Thus, by the strong induction principle, for every n ∈ N, n ∉ X. Thus, X ∩ N = ∅, which contradicts X being a nonempty subset of N. Thus X has a least element

0/5000

จาก: -

เป็น: -

ผลลัพธ์ (ไทย) 1: [สำเนา]

คัดลอก!

คณิตศาสตร์ [แหล่งที่มาของข้อความ | editbeta]

อาโน่สัจพจน์สามารถผลดีกับการดำเนินงานของการบวกและการคูณและการทั้งหมดตามปกติ (เชิงเส้น) เมื่อสั่งซื้อ n ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องและความสัมพันธ์ที่ถูกสร้างขึ้นในตรรกะที่สองคำสั่งและจะแสดงจะไม่ซ้ำกันโดยใช้อาโน่สัจพจน์นอกจากนี้
[แก้ไขแหล่งที่มา | editbeta]
นอกจากนี้เป็นฟังก์ชั่น.n × n → n (เขียนในสัญกรณ์มัดปกติการทำแผนที่สององค์ประกอบของ N กับองค์ประกอบของ n อื่น) recursively ที่กำหนดดังนี้:
begin {align}
0 & =
เป็น (ข) & s = (AB).
end {align}
ตัวอย่างเช่น
1 = เป็น (0) = s (0) = s ().
โครงสร้าง (n) เป็นกึ่งกรุปการสับเปลี่ยนกับเอกลักษณ์องค์ประกอบ 0 (n) ยังเป็นหินหนืด cancellative และทำให้ฝังอยู่ในกลุ่มกลุ่มที่มีขนาดเล็กฝัง n เป็นจำนวนเต็มคูณ
[แหล่งที่มาของข้อความ | editbeta]
ที่กำหนดนอกจากนี้การคูณเป็นฟังก์ชัน·. n × n → n recursively ที่กำหนดดังนี้:
begin {align}
cdot 0 & = 0
cdot s (ข) & = ( cdot ข)
end {align}
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นการตั้งค่าที่ b เท่ากับ 0 อัตราผลตอบแทนเอกลักษณ์ multiplicative:.
· 1 = · s = (0) (· 0) = 0 =
ยิ่งไปกว่านั้นคูณกระจายทั่วนอกจากนี้:..
· (BC) = (·ข) (· c)
ดังนั้น (n, 0, ·, 1) เป็น semiring สับเปลี่ยน
ความไม่เท่าเทียมกัน [แหล่งที่มาของข้อความ | editbeta]
ความสัมพันธ์การสั่งซื้อปกติทั้งหมด≤: n × n สามารถกำหนดดังต่อไปนี้สมมติว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ:
สำหรับทุกคน, b ∈ n, ≤ b และถ้าหากมีอยู่บางค∈ n เช่นว่า ac = b
.ความสัมพันธ์นี้จะมีเสถียรภาพภายใต้การบวกและการคูณสำหรับ b, c in n ถ้า≤ b แล้ว:.
ac ≤ BC และ
· C ≤ b · C
ดังนั้นโครงสร้าง (n,, ·, 1, 0, ≤) เป็น semiring สั่ง; เพราะไม่มีจำนวนธรรมชาติระหว่าง 0 และ 1, มันเป็นโดยสิ้นเชิงสั่ง semiring ความจริงของการเหนี่ยวนำที่ระบุไว้บางครั้งในรูปแบบที่แข็งแกร่งต่อไปนี้การใช้คำสั่ง≤:
สำหรับφกริยาใด ๆ หากφ
(0) เป็นความจริงและ
สำหรับทุก n, k-n ∈ถ้า K ≤ n หมายถึงφ (k) เป็นจริงแล้วφ (s (n)) เป็นความจริง
แล้ว ทุก n ∈ n, φ (n) เป็นจริง.
รูปแบบของการเหนี่ยวนำความจริงนี้เป็นผลที่เรียบง่ายของการกำหนดมาตรฐาน แต่ก็มักจะดีกว่าเหมาะสำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับการสั่งซื้อ≤ ตัวอย่างเช่นแสดงให้เห็นว่าธรรมชาติไว้เป็นอย่างดีสั่งทุก nonempty เซตของ n มีอย่างน้อยองค์ประกอบหนึ่งที่สามารถเหตุผลดังต่อไปนี้ ให้ nonempty x ⊆ n จะได้รับและถือว่า x ไม่ได้มีองค์ประกอบอย่างน้อย.
0 เนื่องจากเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของ n นั้นจะต้องได้ที่ 0 ∉ x.
สำหรับ n ใด ๆ n ∈สมมติว่าทุก K ≤ n, k-∉ x แล้ว s (n) x ∉สำหรับมิฉะนั้นก็จะเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของ x.
ดังนั้นโดยหลักการเหนี่ยวนำที่แข็งแกร่งสำหรับทุก n ∈ n, n x ∉ ดังนั้น x ∩ n = ∅ซึ่งตรงกันข้าม x เป็นเซตย่อย nonempty ของ n ดังนั้น x มีองค์ประกอบอย่างน้อย

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:[สำเนา]

คัดลอก!

เลขคณิต [แก้ไขแหล่ง | editbeta]

สัจพจน์ Peano สามารถถูกขยายการดำเนินงานเพิ่ม และคูณ และปกติรวม (เชิงเส้น) ลำดับบน N. ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องและความสัมพันธ์สร้างขึ้นในสองลำดับตรรกะ และแสดงไม่ซ้ำใช้สัจพจน์ Peano อยู่
เพิ่ม [แก้ไขแหล่ง | editbeta]
นี้คือ ฟังก์ชัน: N × N → N (เขียนในสัญกรณ์ infix ปกติ การแมปองค์ประกอบที่สองของ N กับองค์ประกอบอื่นของ N), กำหนด recursively เป็น:
egin {จัด}
0 & = a, \
a S (ข) & = S (ตัว b) .
end {จัด}
ตัวอย่าง,
1 = S(0) เป็น = S(a 0) = S (a) .
(N,) โครงสร้างเป็น semigroup สลับกับสมาชิกเอกลักษณ์ 0 (N,) เป็นหินหนืดที่ cancellative และ embeddable ดังนั้นในกลุ่ม ฝังกลุ่มน้อยที่สุด N เป็นจำนวนเต็ม.
คูณ [แก้ไขแหล่ง | editbeta]
การบวก คูณเป็นลอกฟังก์ชัน : N × N → N กำหนด recursively เป็น:
egin {จัด}
& cdot 0 เป็น = 0, \
a cdot S (b) & = (cdot b) .
end {จัด}
ซึ่งง่ายต่อการดูว่า ค่า b เท่ากับ 0 ทำให้เอกลักษณ์เชิงการคูณ:
ทรัพยากร 1 =ทรัพยากร S(0) = (ทรัพยากร 0) = 0 =การ
นอกจากนี้ คูณกระจายมากกว่านี้:
ทรัพยากร (b c) = (· b) (· c) ได้
ดังนี้, (N,, 0, ·, 1) ได้การสลับ semiring
ความเหลื่อมล้ำทาง [แก้ไขแหล่ง | editbeta]
≤ความสัมพันธ์ใบสั่งทั้งหมดปกติ: N × N สามารถกำหนดได้ดังนี้ สมมติว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ:
สำหรับทุก a, b ∈ N, a ≤ b ถ้าและเพียงแต่ถ้ามีบาง c ∈ N ให้เป็น c = b ได้
ความสัมพันธ์นี้มีเสถียรภาพภายใต้การบวกและการคูณ: สำหรับ a, b, c in N, a ≤ b แล้วถ้า:
c เป็น c ≤ b และ
ทรัพยากร · c ≤ b c.
ดัง โครงสร้าง (N ลอก 1, 0 ≤) เป็นการสั่ง semiring เพราะธรรมชาติไม่มีหมายเลขระหว่าง 0 ถึง 1 เป็น semiring สั่งการไม่ต่อเนื่อง สัจพจน์ของบางครั้งจะระบุในฟอร์มแข็งแกร่งต่อไปนี้ ใช้ใบ≤:
สำหรับφมีเพรดิเคต if
φ(0) เป็นจริง และ
สำหรับทุก n, k ∈ N ถ้า k ≤ n หมายถึง φ(k) เป็นจริง แล้ว φ(S(n)) เป็นจริง,
แล้วสำหรับ∈ n ทุก N, φ(n) เป็นจริง.
สัจพจน์เหนี่ยวนำแบบนี้จะส่งผลต่อเรื่องของการกำหนดมาตรฐาน แต่มักจะดีขึ้นเหมาะสำหรับเหตุผลเกี่ยวกับใบสั่ง≤ ตัวอย่าง แสดง naturals ที่สั่งดี — ทุกชุดย่อย nonempty ของ N มีองค์ประกอบน้อยที่สุด — หนึ่งสามารถเหตุผลดังนั้น ให้เป็น⊆ X nonempty N ได้รับ และสมมติว่า X ได้ไม่อย่างน้อยองค์ประกอบ
เนื่องจาก 0 เป็นองค์ประกอบน้อยที่สุดของ N ต้องที่∉ 0 ไฟร์
สำหรับ∈ n ใด ๆ N คิดว่า ทุก k ≤ n, k ∉ X แล้ว S(n) ∉ X สำหรับมิฉะนั้น มันจะเป็นองค์ประกอบน้อยที่สุดของ x. อัพ
ดังนี้ โดยการเหนี่ยวนำแรงหลัก สำหรับทุก n ∈ N, n ∉ X ดังนั้น X ∩ N =∅ ซึ่งสำหรับทุก X เป็นเซตย่อยของ N. nonempty ดังนั้น X มีองค์ประกอบน้อยที่สุด

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:[สำเนา]

คัดลอก!

arithmetic [แก้ไขแหล่ง| editbeta ]

ที่ peano ไม่ต้องพิสูจน์)สามารถเพิ่มได้พร้อมด้วยการควบคุมการทำงานของเพิ่มและสูตรคูณและตามปกติทั้งหมด(ตามแนวยาว)สั่งซื้อใน N .ที่เกี่ยวข้องและฟังก์ชันการทำงานความสัมพันธ์ได้รับการก่อสร้างขึ้นในที่สอง - การสั่งซื้อตรรกะและจะแสดงให้เป็นที่โดดเด่นโดยใช้ peano ไม่ต้องพิสูจน์). N นอกจากนี้ยัง[แก้ไขแหล่งที่มา| editbeta ]
นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชัน:n × N “→” N (เขียนไว้ในที่ปกติ infix เครื่องหมาย,การทำแผนที่สองส่วนประกอบของ n ไปอีกส่วนของ N )ที่กำหนด(% s )เป็น:
เริ่มต้น{วาง}
0 &= A ,\\ n :( B )&=% s ( A , B ). N สิ้นสุด{} - -
สำหรับวางตัวอย่างเช่น,
1 =:( 0 )=% s ( 0 )=% s ( A ). N โครงสร้าง( N ,)เป็น commutative semigroup พร้อมด้วยรหัสประจำตัวส่วนที่ 0 . ( n )ยังเป็น cancellative ที่หินเหลวลาวาและ embeddable ในกลุ่มกลุ่มที่มีขนาดเล็กที่สุดคือที่ฝังตัว n integers .
คูณ[แก้ไขแหล่ง| editbeta ]
ให้นอกจากนี้ยังมีการเพิ่มขึ้นเป็นที่ทำงาน?: N × N “→” n ที่กำหนด(% s )เป็น:
เริ่มต้น{จัด, time , long } n cdot 0 &= 0 ,\\ n cdot ( B )&=( cdot B ). N สิ้นสุด{} - -
ให้เป็นการง่ายที่จะดูว่าการตั้งค่า B เท่ากับ 0 อัตราผลตอบแทนที่ multiplicative รหัสประจำตัว:
ที่? 1 =ที่? s ( 0 )=(ที่? 0 )= 0 =
นอกจากนี้,การคูณกระจายมากกว่านอกจากนี้ยัง:
ที่?( B C )=(ที่? b )(ที่? C )..
ดังนั้น,( N ,, 0 ,, 1 )เป็น commutative semiring .
ความไม่เท่าเทียมกัน[แก้ไขแหล่งที่มา| editbeta ]
ที่ตามปกติยอดการสั่งซื้อความสัมพันธ์:≤: N × n สามารถกำหนดไว้ดังนี้( 0 เป็นธรรมชาติหมายเลข:
สำหรับทั้งหมด, B ∈ N ,ที่:≤ B ถ้าและเพียงหากมีบางส่วน C ∈ n ที่ C = B .
โรงแรมแห่งนี้ความสัมพันธ์มีความมั่นคงและนอกจากนี้ยังอยู่ ภายใต้ การคูณ:สำหรับ, B , C ใน N ,หาก≤ B ,แล้ว:
ที่ C :≤ B , C ,และ
ซึ่งจะช่วยให้? C :≤ b ? C .
ดังนั้น,โครงสร้าง( N ,,, 1 , 0 ,≤)เป็นสั่งซื้อ semiring ;เนื่องจากไม่มีทางธรรมชาติจำนวนระหว่าง 0 และ 1 เป็นที่สั่งซื้อแยกต่างหาก semiring . ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ของเตาแม่เหล็กไฟฟ้าจะมีการระบุในแบบฟอร์ม Strong ต่อไปนี้:การใช้ของที่สั่งซื้อ:≤:
ในบางครั้งสำหรับมูลฐานΦ,หาก
Φ( 0 )เป็นความจริงและ
ซึ่งจะช่วยให้ทุก N , K ∈ N , K :≤หาก N หมายถึงΦ( K )เป็นความจริงแล้วΦ( S ( N ))เป็นจริง,
แล้วสำหรับทุก n ∈ N ,Φ( N )เป็นความจริง.
นี้รูปแบบของเตาแม่เหล็กไฟฟ้าไม่จำเป็นต้องพิสูจน์เป็นแบบเรียบง่ายตามมาตรฐานที่กำหนดแล้วแต่มักเป็นดีกว่าเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการใช้เหตุผลเกี่ยวกับการสั่งซื้อ:≤. ตัวอย่างเช่นในการแสดงที่ naturals ที่มีการจัดให้บริการเป็นอย่างดี - สั่งซื้อ - ชุดย่อย nonempty ทุกการใช้งานของ n มีอย่างน้อยส่วนที่หนึ่งเดียวที่สามารถด้วยเหตุผลดังนี้ ปล่อยให้ nonempty x ⊆ N ที่ได้รับและจะต้องเป็นผู้รับผิดชอบ x ไม่มีส่วนอย่างน้อย.
เนื่องจาก 0 เป็นองค์ประกอบอย่างน้อยของ n จะต้องเป็นที่ 0 ∉ x
สำหรับ n ∈ n คิดว่าสำหรับ K ทุก≤ N , K ∉ x แล้ว S ( N )∉ x สำหรับเป็นอย่างอื่นก็จะเป็นส่วนที่น้อยที่สุดของ X
ดังนั้นโดยหลักการเตาแม่เหล็กไฟฟ้า Strong สำหรับ n ∈ n n ∉ x จึง x ∩ N =∅ทุกครั้งซึ่งขัดแย้งกับ X เป็นชุดย่อย nonempty ของ N .ดังนั้น X มีส่วนอย่างน้อยหนึ่ง

การแปล กรุณารอสักครู่..

ภาษาอื่น ๆ

การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.