The axioms[edit source | editbeta]W

The axioms[edit source | editbeta]

When Peano formulated his axioms, the language of mathematical logic was in its infancy. The system of logical notation he created to present the axioms did not prove to be popular, although it was the genesis of the modern notation for set membership (∈, which is from Peano's ε) and implication (⊃, which is from Peano's reversed 'C'.) Peano maintained a clear distinction between mathematical and logical symbols, which was not yet common in mathematics; such a separation had first been introduced in the Begriffsschrift by Gottlob Frege, published in 1879.[4] Peano was unaware of Frege's work and independently recreated his logical apparatus based on the work of Boole and Schröder.[5]
The Peano axioms define the arithmetical properties of natural numbers, usually represented as a set N or mathbb{N}. The signature (a formal language's non-logical symbols) for the axioms includes a constant symbol 0 and a unary function symbol S.
The constant 0 is assumed to be a natural number:
0 is a natural number.
The next four axioms describe the equality relation.
For every natural number x, x = x. That is, equality is reflexive.
For all natural numbers x and y, if x = y, then y = x. That is, equality is symmetric.
For all natural numbers x, y and z, if x = y and y = z, then x = z. That is, equality is transitive.
For all a and b, if a is a natural number and a = b, then b is also a natural number. That is, the natural numbers are closed under equality.
The remaining axioms define the arithmetical properties of the natural numbers. The naturals are assumed to be closed under a single-valued "successor" function S.
For every natural number n, S(n) is a natural number.
Peano's original formulation of the axioms used 1 instead of 0 as the "first" natural number. This choice is arbitrary, as axiom 1 does not endow the constant 0 with any additional properties. However, because 0 is the additive identity in arithmetic, most modern formulations of the Peano axioms start from 0. Axioms 1 and 6 define a unary representation of the natural numbers: the number 1 can be defined as S(0), 2 as S(S(0)) (which is also S(1)), and, in general, any natural number n as Sn(0). The next two axioms define the properties of this representation.
For every natural number n, S(n) = 0 is false. That is, there is no natural number whose successor is 0.
For all natural numbers m and n, if S(m) = S(n), then m = n. That is, S is an injection.
Axioms 1, 6, 7 and 8 imply that the set of natural numbers contains the distinct elements 0, S(0), S(S(0)), and furthermore that {0, S(0), S(S(0)), …} ⊆ N. This shows that the set of natural numbers is infinite. However, to show that N = {0, S(0), S(S(0)), …}, it must be shown that N ⊆ {0, S(0), S(S(0)), …}; i.e., it must be shown that every natural number is included in {0, S(0), S(S(0)), …}. To do this however requires an additional axiom, which is sometimes called the axiom of induction. This axiom provides a method for reasoning about the set of all natural numbers.
If K is a set such that:
0 is in K, and
for every natural number n, if n is in K, then S(n) is in K,
then K contains every natural number.
The induction axiom is sometimes stated in the following form:
If φ is a unary predicate such that:
φ(0) is true, and
for every natural number n, if φ(n) is true, then φ(S(n)) is true,
then φ(n) is true for every natural number n.
In Peano's original formulation, the induction axiom is a second-order axiom. It is now common to replace this second-order principle with a weaker first-order induction scheme. There are important differences between the second-order and first-order formulations, as discussed in the section Models below.

The axioms[edit source | editbeta]

When Peano formulated his axioms, the language of mathematical logic was in its infancy. The system of logical notation he created to present the axioms did not prove to be popular, although it was the genesis of the modern notation for set membership (∈, which is from Peano's ε) and implication (⊃, which is from Peano's reversed 'C'.) Peano maintained a clear distinction between mathematical and logical symbols, which was not yet common in mathematics; such a separation had first been introduced in the Begriffsschrift by Gottlob Frege, published in 1879.[4] Peano was unaware of Frege's work and independently recreated his logical apparatus based on the work of Boole and Schröder.[5]
The Peano axioms define the arithmetical properties of natural numbers, usually represented as a set N or mathbb{N}. The signature (a formal language's non-logical symbols) for the axioms includes a constant symbol 0 and a unary function symbol S.
The constant 0 is assumed to be a natural number:
0 is a natural number.
The next four axioms describe the equality relation.
For every natural number x, x = x. That is, equality is reflexive.
For all natural numbers x and y, if x = y, then y = x. That is, equality is symmetric.
For all natural numbers x, y and z, if x = y and y = z, then x = z. That is, equality is transitive.
For all a and b, if a is a natural number and a = b, then b is also a natural number. That is, the natural numbers are closed under equality.
The remaining axioms define the arithmetical properties of the natural numbers. The naturals are assumed to be closed under a single-valued "successor" function S.
For every natural number n, S(n) is a natural number.
Peano's original formulation of the axioms used 1 instead of 0 as the "first" natural number. This choice is arbitrary, as axiom 1 does not endow the constant 0 with any additional properties. However, because 0 is the additive identity in arithmetic, most modern formulations of the Peano axioms start from 0. Axioms 1 and 6 define a unary representation of the natural numbers: the number 1 can be defined as S(0), 2 as S(S(0)) (which is also S(1)), and, in general, any natural number n as Sn(0). The next two axioms define the properties of this representation.
For every natural number n, S(n) = 0 is false. That is, there is no natural number whose successor is 0.
For all natural numbers m and n, if S(m) = S(n), then m = n. That is, S is an injection.
Axioms 1, 6, 7 and 8 imply that the set of natural numbers contains the distinct elements 0, S(0), S(S(0)), and furthermore that {0, S(0), S(S(0)), …} ⊆ N. This shows that the set of natural numbers is infinite. However, to show that N = {0, S(0), S(S(0)), …}, it must be shown that N ⊆ {0, S(0), S(S(0)), …}; i.e., it must be shown that every natural number is included in {0, S(0), S(S(0)), …}. To do this however requires an additional axiom, which is sometimes called the axiom of induction. This axiom provides a method for reasoning about the set of all natural numbers.
If K is a set such that:
0 is in K, and
for every natural number n, if n is in K, then S(n) is in K,
then K contains every natural number.
The induction axiom is sometimes stated in the following form:
If φ is a unary predicate such that:
φ(0) is true, and
for every natural number n, if φ(n) is true, then φ(S(n)) is true,
then φ(n) is true for every natural number n.
In Peano's original formulation, the induction axiom is a second-order axiom. It is now common to replace this second-order principle with a weaker first-order induction scheme. There are important differences between the second-order and first-order formulations, as discussed in the section Models below.

0/5000

จาก: -

เป็น: -

ผลลัพธ์ (ไทย) 1: [สำเนา]

คัดลอก!

สัจพจน์ [แหล่งที่มาของข้อความ | editbeta]

เมื่ออาโน่สูตรสัจพจน์ของเขาภาษาของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่อยู่ในวัยเด็กของตน ระบบการทำงานของสัญกรณ์ตรรกะที่เขาสร้างขึ้นที่จะนำเสนอหลักการไม่ได้พิสูจน์เป็นที่นิยมแม้ว่ามันจะเป็นแหล่งกำเนิดของสัญกรณ์ที่ทันสมัยสำหรับการเป็นสมาชิกชุด (∈ซึ่งเป็นจากεอาโน่) และความหมาย (⊃ซึ่งเป็นจากของ Peano กลับ ' 'c) อาโน่ยังคงความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และตรรกะซึ่งยังไม่เป็นที่พบบ่อยในคณิตศาสตร์. เช่นแยกได้รับการเปิดตัวครั้งแรกใน Begriffsschrift โดย Gottlob Frege ตีพิมพ์ในปี 1879 [4] อาโน่ตระหนักถึงการทำงานของ Frege และสร้างขึ้นอย่างอิสระ อุปกรณ์ตรรกะของเขาขึ้นอยู่กับการทำงานของบูลและSchröder. [5]
อาโน่สัจพจน์กำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับคณิตศาสตร์จำนวนธรรมชาติแทนมักจะเป็นชุด n หรือ mathbb {n} ลายเซ็น (ภาษาอย่างเป็นทางการของสัญลักษณ์ที่ไม่ตรรกะ) สำหรับหลักการรวมถึงสัญลักษณ์คงที่ 0 และฟังก์ชั่นของเอกสัญลักษณ์
0 คงที่จะถือว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ:..
0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
อีกสี่สัจพจน์ อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความเท่าเทียมกัน.
สำหรับจำนวนธรรมชาติทุก x, x = x นั่นคือความเท่าเทียมกันสะท้อน.
สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด x และ y ถ้า x = y แล้ว y = x นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นสมมาตร.
สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด x, y และ z ถ้า x = y และ y = z แล้ว x = z นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นสกรรมกริยา.
สำหรับทุกคนและ b ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติและ a = b แล้ว b นอกจากนี้ยังเป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือจำนวนธรรมชาติถูกปิดภายใต้ความเท่าเทียมกัน.
สัจพจน์ที่เหลือกำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับคณิตศาสตร์จำนวนธรรมชาติ ธรรมชาติจะถือว่าถูกปิดภายใต้ valued แบบครั้งเดียว "สืบทอด" ฟังก์ชัน s.
สำหรับจำนวนธรรมชาติทุก n, s (n) เป็นจำนวนธรรมชาติ.
สูตรเดิมของ Peano ของหลักการที่ใช้ 1 แทน 0 เป็น "ครั้งแรก "จำนวนธรรมชาติ ทางเลือกนี้โดยพลการเป็น 1 ความจริงไม่ได้บริจาค 0 คงที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมใด ๆ แต่เนื่องจากเป็น 0 ตัวตนของสารเติมแต่งในการคำนวณสูตรในการผลิตที่ทันสมัยที่สุดของอาโน่สัจพจน์เริ่มต้นจาก 0 1 หลักการและ 6 กำหนดแทนเอกจำนวนธรรมชาติ: 1 หมายเลขสามารถกำหนดเป็น s (0), 2 เป็น s (s (0)) (ซึ่งเป็น s (1)) และโดยทั่วไปใด ๆ จำนวนธรรมชาติ n เป็น SN (0)ต่อมาอีกสองหลักการกำหนดคุณสมบัติของการแสดงนี้.
สำหรับทุก n คือจำนวนธรรมชาติ s (n) = 0 เป็นเท็จ นั่นคือไม่มีจำนวนธรรมชาติที่มีทายาทคือเป็น 0.
สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด n และ m ถ้า s (เมตร) s = (n) แล้ว m = n นั่นคือคือการฉีด 1. สัจพจน์
, 6, 7 และ 8 หมายความว่าชุดของจำนวนธรรมชาติมีองค์ประกอบที่แตกต่างกัน 0, s (0), s (s (0)) และนอกจากที่ {0, s (0),s (s (0)), ... } ⊆ n นี้แสดงให้เห็นว่าชุดของจำนวนธรรมชาติไม่มีที่สิ้นสุด แต่แสดงให้เห็นว่า n = {0, s (0), s (s (0)), ... } จะต้องแสดงให้เห็นว่า n ⊆ {0, s (0), s (s (0)) ... }; คือจะต้องแสดงให้เห็นว่าทุกจำนวนธรรมชาติจะรวมอยู่ใน {0, s (0), s (s (0)), ... } การทำเช่นนี้ แต่ต้องใช้ความจริงเพิ่มเติมซึ่งบางครั้งเรียกว่าความจริงของการเหนี่ยวนำความจริงนี้จะให้วิธีการในการให้เหตุผลเกี่ยวกับชุดของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
ถ้า k คือชุดดังกล่าวว่า:.
0 อยู่ใน K และ
สำหรับจำนวนธรรมชาติทุก n ถ้า n คือใน K, แล้ว s (n) คือ ใน K, K
แล้วมีทุกจำนวนธรรมชาติ
เหนี่ยวนำความจริงที่ระบุไว้บางครั้งในรูปแบบต่อไปนี้:.
ถ้าφเป็นคำกริยาเอกดังกล่าวว่า:
φ (0) เป็นความจริงและ
สำหรับจำนวนธรรมชาติทุก n ถ้า φ (n) เป็นจริงแล้วφ (s (n)) เป็นความจริง
แล้วφ (n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุก n.
ในการกำหนดเดิมของ Peano, เหนี่ยวนำความจริงคือความจริงลำดับที่สอง ตอนนี้มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเปลี่ยนหลักการนี้ลำดับที่สองที่มีรูปแบบการปรับตัวลดลงเหนี่ยวนำลำดับแรก มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสูตรลำดับที่สองและลำดับแรกที่กล่าวไว้ในส่วนรูปแบบด้านล่างนี้

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:[สำเนา]

คัดลอก!

สัจพจน์ [แก้ไขแหล่ง | editbeta]

เมื่อ Peano สูตรสัจพจน์ของเขา เป็นภาษาของตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ในของตราสินค้า ระบบของสัญกรณ์ทางตรรกะที่เขาสร้างขึ้นเพื่อนำเสนอสัจพจน์ไม่ได้พิสูจน์ให้นิยม แต่ปฐมกาลของสัญกรณ์ทันสมัยสำหรับการตั้งค่าสมาชิก (∈ ซึ่งเป็นของ Peano ε) และปริยาย (⊃ ซึ่งเป็นของ Peano กลับ 'C') ความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างคณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ ซึ่งยังไม่มีในคณิตศาสตร์ รักษา Peano แยกดังกล่าวก่อนมีการแนะนำใน Begriffsschrift การ โดย Gottlob Frege เผยแพร่ใน 1879[4] Peano การณ์ทำงานของ Frege และเครื่องตรรกะของเขาขึ้นอยู่กับการทำงานของหญิงปูเล่และ Schröder ที่สร้างขึ้นใหม่โดยอิสระ[5]
สัจพจน์ Peano กำหนดคุณสมบัติ arithmetical จำนวนธรรมชาติ มักแสดงเป็นชุด N หรือ mathbb{N } ลายเซ็น (ภาษาทางตรรกะไม่ใช่สัญลักษณ์) สำหรับสัจพจน์มีสัญลักษณ์คง 0 และสัญลักษณ์ฟังก์ชัน unary S.
0 คงจะถือ จำนวนธรรมชาติ:
0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
สัจพจน์ที่สี่ถัดไปอธิบายถึงความสัมพันธ์ความเสมอภาค
สำหรับจำนวนธรรมชาติทุก x, x = x นั่นคือ ความเสมอภาคได้ reflexive
สำหรับหมายเลขของธรรมชาติทั้งหมด x และ y ถ้า x = y แล้ว y = x นั่นคือ ความเสมอภาคเป็นสมมาตร.
สำหรับหมายเลขของธรรมชาติทั้งหมด x, y และ z ถ้า x = y และ y = z แล้ว x = z คือ ความเสมอภาคเป็น transitive.
ทั้งหมด b และถ้าเป็นเป็นจำนวนธรรมชาติและ = b แล้ว b เป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ ปิดหมายเลขธรรมชาติภายใต้ความเสมอภาคกัน
สัจพจน์ที่เหลือกำหนดคุณสมบัติ arithmetical จำนวนธรรมชาติ Naturals จะถือว่าปิดภายใต้ฟังก์ชันเดี่ยว "สืบ" S.
สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, S(n) เป็นธรรมชาติเลข.
กำหนดเดิมของ Peano สัจพจน์ที่ใช้ 1 แทน 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ "แรก" ทางเลือกนี้จะกำหนด เป็นสัจพจน์ 1 ไม่ endow คง 0 มีคุณสมบัติใด ๆ เพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกในเลขคณิต สูตรสัจพจน์ Peano น่าเริ่มจาก 0 การแสดงเดี่ยวของธรรมชาติกำหนดสัจพจน์ที่ 1 และ 6: สามารถกำหนดหมายเลข 1 เป็น 2 เป็น S(S(0)), S(0) (ซึ่งเป็น S(1)) และ ทั่ว ไป n จำนวนธรรมชาติใด ๆ เป็น Sn(0) สัจพจน์ที่สองถัดไปกำหนดคุณสมบัติของการแสดงนี้
สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, S(n) = 0 เป็นเท็จ กล่าวคือ มีไม่ธรรมชาติเลขสืบ 0.
ทั้งหมดธรรมชาติจำนวน m และ n ถ้า S(m) = S(n) แล้ว m = n นั่นคือ S ได้การฉีด
สัจพจน์ที่ 1, 6, 7 และ 8 เป็นสิทธิ์แบบว่า ชุดตัวเลขธรรมชาติประกอบด้วยองค์หมดประกอบ 0, S(0), S(S(0)) และนอกจากนี้ที่ {0, S(0) S(S(0)),...} ⊆ N. นี้แสดงว่าชุดธรรมชาติจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม จะแสดงว่า N = {0, S(0), S(S(0)),...}, มันต้องแสดงว่า N ⊆ {0, S(0), S(S(0)),...}; เช่น มันต้องแสดงว่า จำนวนธรรมชาติทุกอยู่ใน {0, S(0), S(S(0)),...} ทำอย่างไรก็ตามต้องเป็นสัจพจน์เพิ่มเติม บางครั้งเรียกว่าสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ สัจพจน์นี้แสดงวิธีการใช้เหตุผลเกี่ยวกับชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด
K ถ้าเป็นชุดที่:
0 เป็น K และ
สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, K, n อยู่แล้ว S(n) ว่าใน K,
แล้ว K ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทุก ๆ การ
สัจพจน์เหนี่ยวนำบางครั้งได้ระบุไว้ในแบบฟอร์มต่อไปนี้:
ถ้าφเป็นเพรดิเคตแบบเอกภาคให้:
Φ(0) เป็นจริง และ
สำหรับ n ทุกจำนวนธรรมชาติ ถ้าเงื่อนไขเป็นจริง φ(n) แล้ว φ(S(n)) เป็นจริง,
แล้ว φ(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n.
Peano ของเดิมกำหนด สัจพจน์เหนี่ยวนำเป็นสัจพจน์สองสั่ง ตอนนี้จะไปแทนหลักสองสั่งนี้ มีโครงร่างแข็งแกร่งลำดับแรกเหนี่ยวนำ มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสูตรสองใบสั่ง และใบ สั่งแรก ตามที่อธิบายไว้ในรูปแบบส่วนด้านล่าง

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:[สำเนา]

คัดลอก!

ไม่ต้องพิสูจน์)[ editbeta แก้ไขแหล่ง|]

เมื่อ peano สูตรไม่ต้องพิสูจน์)ของเขา ภาษา ที่เชิงตรรกะของทางคณิตศาสตร์อยู่ในทารกที่ ระบบเสียงแบบลอจิกเขาสร้างขึ้นเพื่อแสดงไม่ต้องพิสูจน์)ไม่ได้พิสูจน์ให้ได้รับความนิยมแต่มันก็เป็นของใช้รูปแบบที่ทันสมัยสำหรับการเป็นสมาชิกตั้งค่า(∈ซึ่งมีที่มาจากของ peano ε)และนำมาซึ่ง(⊃ซึ่งมีที่มาจากสลับกันของ peano ' C ') peano ได้รับการดูแลรักษาเป็นอย่างดีความแตกต่างชัดเจนระหว่างสัญลักษณ์ทางด้านคณิตศาสตร์และแบบลอจิกที่ไม่ได้แต่โดยทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์การแยกดังกล่าวได้รับการแนะนำให้รู้จักใน begriffsschrift โดย gottlob frege เผยแพร่เป็นครั้งแรกใน 1879 .[ 4 ] peano ก็ไม่ทราบถึงการทำงานของ frege และอิสระเช่นเดียวกับเครื่องแบบลอจิกของเขาที่ใช้งานได้ของ boole และ schröder .[ 5 ],
ไม่ต้องพิสูจน์) peano จะกำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับเลขที่ของตัวเลขธรรมชาติโดยปกติแล้วเป็น N หรือ mathbb { n }ที่ ที่ลงนาม( ภาษา ที่เป็นทางการของไม่ใช่แบบลอจิกสัญลักษณ์)สำหรับที่ไม่ต้องพิสูจน์)รวมถึงที่คงที่สัญลักษณ์ 0 และที่ unary ฟังก์ชันสัญลักษณ์.
ที่คงที่ 0 จะถูกคาดหมายว่าจะเป็นตามธรรมชาติจำนวน:
0 คือที่เป็นธรรมชาติจำนวน.
ที่อยู่ถัดออกไปทั้งสี่ไม่ต้องพิสูจน์)อธิบายความเท่าเทียมกันความสัมพันธ์.
สำหรับหมายเลขตามธรรมชาติทุก X / X = x . ที่มีความเท่าเทียมกันเป็นปฏิกริยา.
สำหรับหมายเลขเป็นธรรมชาติทั้งหมด X และ Y หาก X = Y แล้วกด y = x ที่มีความเท่าเทียมกันคือสมมาตร.
สำหรับหมายเลขเป็นธรรมชาติทั้งหมด X , Y และ Z หาก X = Y และ Z y =แล้ว X = Z ที่มีความเท่าเทียมกันคือสกรรมกริยา.
สำหรับทั้งหมดและหากที่เป็นธรรมชาติและหมายเลขที่= B จากนั้น B จะเป็นหมายเลขเป็นธรรมชาติ ซึ่งเป็นหมายเลขตามธรรมชาติที่จะปิด ภายใต้ ความ เสมอภาค .
ไม่ต้องพิสูจน์)ที่เหลือจะกำหนดคุณสมบัติ( Properties )เกี่ยวกับเลขที่ของหมายเลขตามธรรมชาติ ที่ naturals อยู่จะทำการปิดตามที่เดียว - ผู้มีอุปการะคุณ"ผู้สืบราชสันตติวงศ์"ฟังก์ชัน. S . S .
สำหรับทุกทางธรรมชาติจำนวน N , s ( N )เป็นธรรมชาติจำนวน.
peano ของเดิมสูตรพิเศษที่ไม่ต้องพิสูจน์)ของใช้ 1 แทน 0 ที่"ครั้งแรก"ตามธรรมชาติจำนวน. ตัวเลือกนี้จะตาม อำเภอ ใจเป็นความจริง 1 ไม่ได้ประสิทธิ์คงที่ 0 ที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมใดๆ อย่างไรก็ตามเนื่องจากสาร 0 เป็นรหัสประจำตัวที่โจทย์หลักที่ทันสมัยมากที่สุดของไม่ต้องพิสูจน์) peano เริ่มจาก 0 ไม่ต้องพิสูจน์) 1 และ 6 กำหนด unary เป็นตัวแทนของธรรมชาติหมายเลข:หมายเลข 1 จะสามารถกำหนดเป็น S ( 0 ), 2 S ( S ( 0 ))(ซึ่งยังเป็น S ( 1 )),และโดยทั่วไปที่เป็นธรรมชาติจำนวน n SN ( 0 )สองไม่ต้องพิสูจน์)ถัดไปจะกำหนดคุณสมบัติของการเป็นตัวแทนแห่งนี้.
สำหรับหมายเลขธรรมชาติ n % s ( N )= 0 ทุกครั้งเป็นการแจ้งเตือนที่ผิดพลาด ที่อยู่ที่นั่นคือไม่มีหมายเลขตามธรรมชาติซึ่งมีผู้สืบราชสันตติวงศ์คือ 0 .
สำหรับหมายเลขเป็นธรรมชาติทั้งหมดม.และ N หาก( M )=% s ( N )จากนั้นม.= n ที่เป็นนี้เป็นแบบฉีดที่.
ไม่ต้องพิสูจน์) 167 และ 8 เป็นที่ตั้งของตัวเลขธรรมชาติประกอบด้วยองค์ประกอบที่แตกต่าง 0 s ( 0 ): S ( S ( 0 ))และยิ่งไปกว่านั้น{ 0 ที่ S ( 0 )% s (% s ( 0 ))........................}⊆ N .นี้จะแสดงให้เห็นว่าชุดของหมายเลขตามธรรมชาติเป็นแบบไม่มีขอบเขต อย่างไรก็ตามการที่จะแสดงให้เห็นว่า n ={ 0 :( 0 ): s (% s ( 0 ))........................}จะต้องแสดงให้เห็นว่า n ⊆{ 0 s ( 0 ): S ( S ( 0 ))........................}นั่นคือจะต้องมีการแสดงที่เป็นธรรมชาติทุกหมายเลขจะรวมอยู่ใน{ 0 s ( 0 ): S ( S ( 0 ))........................} ในการดำเนินการนี้อย่างไรก็ตามต้องใช้ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์เพิ่มเติมซึ่งจะเรียกว่าไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ของเตาแม่เหล็กไฟฟ้าในบางครั้งโรงแรมแห่งนี้ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ให้วิธีสำหรับการใช้เหตุผลเกี่ยวกับที่ตั้งของทั้งหมดเป็นธรรมชาติตัวเลข.
หาก K เป็นที่ตั้งอยู่ที่:
0 อยู่ใน K ,และ
ซึ่งจะช่วยให้ทุกอย่างเป็นธรรมชาติจำนวน N ,หาก N อยู่ใน K ,แล้ว S ( N )อยู่ใน K ,
แล้ว K ประกอบด้วยทุกครั้งเป็นธรรมชาติจำนวน.
ที่เตาแม่เหล็กไฟฟ้าไม่จำเป็นต้องพิสูจน์เป็นบางครั้งได้ระบุไว้ในรูปแบบต่อไปนี้:
หากΦเป็น unary มูลฐานที่:
Φ( 0 )เป็นความจริงและ
สำหรับทุกทางธรรมชาติจำนวน N ,หากΦ( N )เป็นเรื่องจริงจากนั้นΦ( S ( N ))เป็นความจริง
จากนั้นΦ( N )เป็นความจริงสำหรับหมายเลขธรรมชาติทุก N .
ในสูตรดั้งเดิมของ peano ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์เตาแม่เหล็กไฟฟ้าได้คือไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ที่สอง - การสั่งซื้อ ในตอนนี้เป็นเรื่องปกติที่จะเปลี่ยนหลักการอันที่สองที่มีการสั่งซื้อนี้พร้อมด้วยโครงสร้างเตาแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นครั้งแรกการสั่งซื้ออ่อนตัวลง มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างหลักที่สอง - การสั่งซื้อและเป็นครั้งแรกที่การสั่งซื้อตามที่กล่าวไว้ในส่วนที่รุ่นด้านล่าง

การแปล กรุณารอสักครู่..

ภาษาอื่น ๆ

การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.