AbstractA classical probability que

Abstract
A classical probability question asks for the expected waiting time
for flipping a coin (fair or not) until a series of consecutive k heads
occur. Now instead of k heads, we can ask for the expected waiting
time for a prescribed string such as HTHHTT (H for ‘head’ and T for
‘tail’), and furthermore, the following more general setting: replacing
coin flipping by taking a letter, one at a time, what is the expected
waiting time until a prescribed string (a series of letters) is reached?
Here we allow different probabilities for the occurrence of different let-
ters. We give an exposition to this problem by offering an elementary
algorithm and implementing it to compute the corresponding probabil-
ity generating function: we show that there exists a universal program
taking as inputs the choice of letters with given probabilities and the
prescribed string, and as output, returning the probability generating
function for the waiting time. The same method is applied to solve the
problem of several competing strings, which asks for the probability (or
more generally the probability generating function) of one of the given
strings occurring before the remaining strings. In particular, this solves
the problem of finding the expectation and variance for the waiting time
random variable of the first problem.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อคำถามน่าเป็นแบบคลาสสิกขอเวลารอคาดไว้ สำหรับ flipping เหรียญ (ยุติธรรม หรือไม่) จนถึงชุดของหัว k ติดต่อกัน เกิดขึ้น ตอนนี้ แทนที่หัว k เราสามารถขอรอคาด เวลาสำหรับสายอักขระที่กำหนดเช่น HTHHTT (H 'ศีรษะ' และ T สำหรับ 'หาง'), และนอกจาก นี้ ต่อไปนี้การตั้งค่าเพิ่มเติม: แทน flipping เหรียญ โดยการใช้ตัวอักษร ที มีอะไรที่คาด รอเวลาจนกว่าจะถึงกำหนดสายอักขระ (ชุดตัวอักษร) ที่นี่เราอนุญาตน่าจะจึงแตกต่างกันสำหรับการเกิดขึ้นของให้จึงแตกต่างกัน ters เราเบี้ยปัญหานี้ โดย offering การประถม อัลกอริทึมและการใช้การคำนวณที่สอดคล้องกัน probabil- สร้างฟังก์ชันใช้งานของแบตเตอรี่: เราแสดงว่า มีโปรแกรมสากล การอินพุตแบบตัวอักษรด้วยน่าจะได้รับและ กำหนดสายอักขระ และเป็นเอาต์พุต กลับสร้างความน่าเป็น ฟังก์ชันสำหรับเวลารอ ใช้วิธีการเดียวกับการแก้ตัว ปัญหาของสายแข่งขันหลาย ซึ่งถามความน่าเป็น (หรือ โดยทั่วไปความน่าเป็นการสร้างฟังก์ชัน) ของหนึ่งที่กำหนด สายอักขระที่เกิดขึ้นก่อนที่สายอักขระที่เหลือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นี้สามารถแก้ไข ปัญหาของ finding ความคาดหวังและความแปรปรวนสำหรับเวลารอ แปรสุ่มของปัญหาแรก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
คำถามที่น่าจะเป็นคลาสสิกขอเวลารอคาดว่า
สำหรับ FL ipping เหรียญ (ยุติธรรมหรือไม่) จนกว่าชุดของหัว k ติดต่อกัน
เกิดขึ้น ตอนนี้แทนของหัว K เราสามารถขอรอคาดว่า
เวลาสำหรับสตริงที่กำหนดเช่น HTHHTT (H สำหรับ 'หัว' และ T สำหรับ
'หาง') และนอกจากนี้ดังต่อไปนี้การตั้งค่าทั่วไปมากขึ้น: การเปลี่ยน
เหรียญ FL ipping โดยการ ตัวอักษรในเวลาหนึ่งสิ่งที่เป็นที่คาดว่าจะ
รอเวลาจนกว่าจะมีการกำหนดสตริง (ชุดของตัวอักษร) ถึง?
ที่นี่เราช่วยให้ดิ FF น่าจะต่างกันสำหรับการเกิดขึ้นของดิ FF ต่างกันอักษร
ters เราจะให้การแสดงออกในการแก้ไขปัญหานี้โดย o FF ering ประถมศึกษา
อัลกอริทึมและการดำเนินการนั้นในการคำนวณที่สอดคล้อง probabil-
สร้างฟังก์ชัน ity เราแสดงให้เห็นว่ามีอยู่โปรแกรมสากล
การเป็นปัจจัยการผลิตทางเลือกของตัวอักษรที่มีความน่าจะเป็นที่กำหนดและที่
สตริงที่กำหนดและเป็น การส่งออกที่กลับมาสร้างความน่าจะเป็น
ฟังก์ชั่นสำหรับเวลาที่รอคอย วิธีการเดียวกันถูกนำไปใช้ในการแก้
ปัญหาของสตริงการแข่งขันหลายอย่างซึ่งขอความน่าจะเป็น (หรือ
อื่น ๆ โดยทั่วไปฟังก์ชั่นที่ก่อให้เกิดความน่าจะเป็น) ของหนึ่งรับ
สายที่เกิดขึ้นก่อนที่จะสายที่เหลือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี้จะช่วยแก้
ปัญหาของการ Fi nding ความคาดหวังและความแปรปรวนรอเวลา
ตัวแปรสุ่มของปัญหาแรก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทคัดย่อคำถาม ความน่าจะเป็นคลาสสิกขอไว้รอเวลาสำหรับfl ipping เหรียญ ( ยุติธรรมหรือไม่ ) จนถึงชุดหัว K ติดต่อกันเกิดขึ้น ตอนนี้แทน K หัว เราสามารถขอไว้รอเวลาที่เชือก เช่น hthhtt ( H " หัว " t สำหรับ" หาง " ) และนอกจากนี้ การตั้งค่าทั่วไปต่อไปนี้แทนเหรียญfl ipping โดยการใช้ตัวอักษร หนึ่งครั้ง แล้วคาดว่ารอเวลาจนกว่าจะกำหนดสตริง ( ชุดของตัวอักษร ) ถึง ?ที่นี่เราให้ ดิ ff erent ความน่าจะเป็นการเกิดff erent ให้ดิters . เราให้มหกรรมดังกล่าว โดยเบื้องต้นff ering oขั้นตอนวิธีและใช้มันเพื่อหาซึ่งน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน -ity สร้างฟังก์ชัน : เราพบว่ามีอยู่เป็นโปรแกรมสากลการเป็นปัจจัยทางเลือกของตัวอักษรที่มีให้ความน่าจะเป็นและกำหนดข้อความ และผลผลิต กลับสร้างความน่าจะเป็นฟังก์ชันสำหรับเวลาที่รอคอย วิธีการเดียวกันที่ใช้แก้ปัญหาปัญหาของสายการแข่งขันหลายอย่างซึ่งขอความน่าจะเป็น ( หรือโดยทั่วไปแล้วโอกาสสร้างฟังก์ชัน ) ของให้สตริงที่เกิดขึ้นก่อนที่สายที่เหลือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี้ solvesปัญหาของการส่งจึงคาดหวังและความแปรปรวน สำหรับเวลาในการรอตัวแปรของปัญหาจึงตัดสินใจเดินทาง .