Example 1.26 Solve the following in

Example 1.26

Solve the following initial value problem:


y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 1. (1.153)

By taking Laplace transforms of both sides of the ODE, we use
L{y(x)} = Y (s),
2 (1.154)
L{y (x)} = s L{y(x)} − sy(0) − y (0)
= s2Y (s) − s − 1,

obtained upon using the initial conditions. Substituting this into the ODE
gives
s 1
Y (s) = s2 + 1 + s2 + 1 . (1.155)

To determine the solution y(x) we then take the inverse Laplace transform
L−1 to both sides of the last equation to find
L−1{Y (s)} = L−1 2 s + L−1 2 1 . (1.156)

s + 1 s + 1
This in turn gives the solution by

y(x) = cos x + sin x, (1.157)
obtained upon using the table of Laplace transforms. Notice that we obtained
the particular solution for the differential equation. This is due to the fact
that the initial conditions were used in the solution.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.26 ตัวอย่าง

แก้ปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้:


ปปปป = 0, y (0) = 1, y (0) = 1 (1.153)

โดยการแปลงลาปลาซของทั้งสองด้านของบทกวีที่เราใช้ l
{y (x)} = y (s)
2 (1.154)
l {y (x)} = sl {y ( x)} - ซี่ (0) - y (0) =
S2Y (s) - s - 1,

ที่ได้รับเมื่อใช้เงื่อนไขเริ่มต้น แทนนี้เป็นบทกวีให้
s
1
y (s) = 1 s2 s2 1 (1.155)

เพื่อตรวจสอบการแก้ปัญหา y (x) จากนั้นเราจะแปลงลาปลาซผกผัน
l-1 ทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายที่จะหา
l-1 {y (s)} = L-1 2 sl-1 2 1 (1.156)

s 1 s 1
นี้จะช่วยให้การแก้ปัญหาโดย

y (x) = cos x บาป x, (1.157)
ได้รับเมื่อใช้ตารางแปลงลาปลาซ สังเกตเห็นว่าเราได้รับ
แก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นี้เนื่องจากความจริงที่ว่า
เงื่อนไขเริ่มต้นถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่างที่ 1.26

แก้ปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้:


y y = 0, y(0) = 1, y (0) = 1 (1.153)

โดยลาปลาสการแปลงทั้งสองด้านของการ ODE เราใช้
L{y(x) } = Y (s),
2 (1.154)
L {y (x) } = s L{y(x) } y − sy(0) − (0)
= s2Y (s) − s − 1,

ได้เมื่อใช้ครั้งแรก แทนนี้เป็นการ ODE
ให้
s 1
Y (s) = s2 1 s2 1 (1.155)

กำหนด y(x) โซลูชัน เราแล้วใช้ตัวผกผันการแปลงลาปลาส
L−1 ไปทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายเพื่อ find
L−1 {Y (s) } = s L−1 2 L−1 2 1 (1.156)

s 1 s 1
นี้จะให้โซลูชันโดย

y(x) = cos x sin x, (1.157)
ได้รับเมื่อใช้ตารางการแปลงลาปลาส ที่เราได้รับทราบล่วงหน้า
การแก้สมการของ differential โดยเฉพาะ นี่คือเนื่องจาก
ที่เงื่อนไขเริ่มต้นใช้ในการแก้ปัญหา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น 1.26

แก้ปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้:


y , Y = 0 Y ( 0 )= 1 Y ( 0 )= 1 . ( 1.153 )

โดยการอ่านตำราปฏิรูปของทั้งสองด้านของโคลง,เราใช้
L { Y ( X )}= Y ( s ),
2 ( 1.154 )
L { Y ( X )}=% s l { Y ( X )} - SY ( 0 ) - Y ( 0 )
= S 2 ( S ) - S - 1 ,

ได้รับเมื่อครั้งแรกโดยใช้เงื่อนไข. ตามปกติแทนส่วนประกอบชิ้นนี้เข้ากับโคลงที่

S 1 ช่วยให้
Y ( S )=% s 2121 ( 1.155 )

ในการกำหนดโซลูชัน Y ( X )จากนั้นเราจะนำกลับอ่านตำราเปลี่ยน
L - 1 ถึงทั้งสองด้านของที่ผ่านมาสมการเพื่อ find
L - 1 { Y ( S )}= L - 12 - 121 . ( 1.156 )

S 1 S 1
นี้ในการทำให้โซลูชันโดย

Y ( X )=ผักกาดหวาน x บาป x ( 1.157 )
ได้รับเมื่อการใช้ตารางของอ่านตำราเปลี่ยน ต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าว่าเราได้รับโซลูชันเฉพาะ
สำหรับสมการ differential ได้โรงแรมแห่งนี้คือเนื่องจากความเป็นจริงที่
ว่าเงื่อนไขแรกที่จะถูกใช้ในโซลูชัน